第三節傅利葉級數
【大綱內容】函式的傅利葉（fourier）係數與傅利葉級數；狄利克雷（dirichlet）定理；函式在上的傅利葉級數；函式在上的正弦級數和余弦級數。
【大綱要求】數學一要求，了解傅利葉級數的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在上的函式展開為傅利葉級數，會將定義在上的函式展開為正弦級數和余弦級數，會寫出傅利葉級數的和的表示式.
【考點分析】傅利葉級數是刻畫週期性問題的常用工具，只有了解傅利葉級數的概念，掌握狄利克雷收斂定理，才能寫出函式的傅利葉級數及傅利葉級數的和函式。
【複習要點】1．週期為的傅利葉級數
定義1 設函式f(x)是週期為的週期函式，且在上可積，則稱
為f(x)的傅利葉係數。稱級數為f(x)的以為週期的傅利葉級數。記作
【評注】（1）根據週期函式的性質，
（2）根據奇函式和偶函式的性質，當f(x)是週期為的可積奇函式時，的以為週期的傅利葉級數為稱為正弦級數。
類似地，當f(x)是週期為的可積偶函式時，其以為週期的傅利葉級數為 ，稱為余弦級數，其中
狄里克雷收斂定理設f(x)是週期為的可積函式，且滿足
1）上連續或只有有限個第一類間斷點；
（2）上只有有限個單調區間，
則f(x)的以為週期的傅利葉級數收斂，且
【評注】在f(x)的連續點處，s(x)與f(x)的值相等；在f(x)的第一類間斷點處，s(x)的值等於在f(x)在此點的左、右極限的平均值。
2．週期為的傅利葉級數
定義2 設函式上可積，則稱
為f(x)的以為週期的傅利葉係數；稱級數
為f(x)的以為週期的傅利葉級數，記作
.【評注】週期為的傅利葉級數收斂性結論與週期為的傅利葉級數一樣。
3．只在上有定義的函式的傅利葉級數展開
定義在上的函式可以有多種方式展開成三角函式，但常用的方式只有三種，即：週期奇延拓、週期偶延拓、週期延拓。三種延拓方式得到的三角級數展開式分別為：
（1）正弦級數展開
（2）余弦級數展開
（3）三角級數展開
【例8.47】設是週期為2的週期函式，它在上定義為
則的傅利葉級數在處收斂於 。
【詳解】根據收斂定理，的傅利葉級數在處收斂於（間斷點）
.【例8.48】設函式，而，其中，則 。
【詳解】由的形式可知：這裡對所做的是奇延拓，即，。
【例8.50】設，則
【分析】 將展開為余弦級數
，其係數計算公式為.
【詳解】 根據余弦級數的定義，有1.
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