楊鳳坤張文彬
摘要：本文主要闡述日常生活中關於養魚獲取利潤最大化問題的分析，由於影響魚生長的因素很多，並且各種因素對魚生長的影響程度不同，我們結合現實生活中的實際情況，考慮到現實環境的多變性與複雜性，我們忽略部分次要因素，建立解決養魚獲取利潤最大化問題的數學模型，並借助matlab軟體程式設計計算。通過各種模型的動態規劃與線性規劃分析比較來得出最優解，確定三年獲得較大利潤的最優養魚方案。
以下為四個基本的養育模型：
模型 ⅰ：一次性養殖模型，一年賣一次，投放一定數量的魚讓魚長成成魚；
模型 ⅱ：養賣結合模型，考慮到中間資金**與正常運轉；
關鍵詞：利潤最大化養魚模型 matlab軟體動態規劃線性規劃
一、問題重述
設某地有一池塘，其水面面積約為100×100，用來養殖某種魚類。在如下的假設
設計能獲取較大利潤的三年的養魚方案。
1 魚的存活空間為1kg /；
2 每1kg魚每天需要的飼料為0.05kg，市場上魚飼料的**為0.2元/kg；
3 魚苗的**忽略不計，每1kg魚苗大約有500條魚；
4 魚可四季生長，每天的生長重量與魚的自重成正比，365天長為成魚，成魚的重量為2kg；
⑤池內魚的繁殖與死亡均忽略；
⑥若q為魚重，則此種魚的售價為：
⑦該池內只能投放魚苗。
二、問題分析
本文主要是設計乙個在一定時間和一定的空間內養魚可以獲得最大利益方案，從題目中我們知道池塘的面積，魚的生活空間，池內魚的繁殖於死亡均忽略，每1kg魚每天需要的飼料和魚長成成魚的時間以及不同重量的魚的售價，因此可以將魚的**和魚的繁殖時間聯絡起來，構建乙個**體系，考慮在不同時間段魚的售價與飼料成本，繪製魚的增長圖和飼料成本圖，但由於養魚的複雜性，我們忽略部分影響養魚的因素，應用線性規劃和動態線性模型來分析魚在不同時段的價值來考慮設計最佳的養魚方案，從而為部分漁民提供乙個參考。
三、模型假設
1、該池內只能投放魚苗，而且放入的魚苗不受個體差異的影響，都能按照題目的要求在相同的時間長成同樣大的魚和不考慮魚的繁殖和死亡；
2、魚可四季生長，每天的生長重量與魚的自重成正比，365天長為成魚，成魚的重量為2kg；
3、魚的存活空間為1kg/m2，每1kg魚需要的飼料為0.05kg，市場上魚飼料的**為0.2元/kg；
4、魚苗的**忽略不計，每1kg魚苗大約有500條魚；
5、魚在生長過程中沒有出現過變異，每一條魚生長都服從生長係數；
6、在飼養過程中不考慮意外災害，如洪災，旱災，氣候，水溫差異等；
7、市場上魚的售價和飼料的售價在三年維持在一定水平，波動不大（漁民可以承擔）；
8、我們在捕魚過程中，魚都是新鮮的，且可以賣到題目所給的**；
9、每次捕到的魚都能全部**，沒有魚剩下來；
10、投放魚苗和捕魚不受時間、季節的限制。
四、符號說明
池塘水面積（平方公尺
魚的售價（元/kg）
第一次投放魚的數量；
---------每條魚在養殖t天需要的飼料成本；
-------魚的繁殖天數；
---------每條魚在養殖t天後的重量；
-------三年的收益總額；
魚每天的生長重量與魚的自重成正比的比例係數；
-------每條魚苗的重量；
--------每條魚的重量；
-------一天投放的魚苗數量；
每條魚在養殖t天後平均產生的利潤率；
每條魚的重量達到2kg所產生的利潤；
五、模型建立與求解
模型ⅰ（一次性養殖模型）
假設我們將魚苗一次性投入到魚塘，等到年終魚長成成魚後再一次性賣出，第
二、三年也是如此。
根據池塘的容量，等到魚長成成魚的重量為2kg，每條魚的存活空間為1kg/m2，則我們第一次投放魚苗的數量為, 魚每天的生長重量與魚的自重成正比的比例係數為r,則由假設2可得魚的生長函式為：
1)由條件⑥可得魚的**函式為：
將其轉化為時間函式：
因為是進行一次性投放和一次性捕撈，由題可知
條）；由③知每1kg魚苗大約有500條魚，我們可以知道每條魚苗代入（1）
化簡可以得到
用matlab計算可以求出r=
設養殖t天後每條魚的重量為，則
設養殖t天後每條魚需要的飼料費用為
三年的飼料總的費用為3*
設三年的總收益額為m，則
通過計算可以得出最大利潤為：
模型二（養賣結合模型）
模型一是簡單的計算一年一次性投放魚苗的數量，和長成成魚售出全部後的的利潤，但在現實生活中影響因素是不確定的，因此不具有現實性，因此我們對模型一進行修改。由模型一可知魚每天的生長重量與魚的自重成正比的比例係數r= ？ 每條魚在養殖t天條件下的重量,因此由⑥可知，並代入⑴式：
魚重0.2kg所需的天數為
魚重增到0.75kg所需的天數為
魚重增到1.5kg所需的天數為
經過計算可知魚苗在長成成魚之間還要一定的空間，為了更好的利用池塘資源，我們分次數進行一邊投放魚苗一邊捕撈可以賣的魚。基於上述計算我們可以得
表1：魚的重量與養殖時間的關係
因此可以由表1的數值利用matlab繪製圖1：
>> t=1:365;
>> qt=500.*(1+r).^t;
>> plot(t,qt)
從表和圖中我們可以分時間段捕撈與投放相結合，首先投放一次，養殖一段時間後，可以先捕撈一部分可以達到題目假設條件⑥**要求的魚，然後再次投放魚苗進行週期性迴圈捕撈以期獲得最佳利潤。我們可以在這三年內進行週期迴圈的捕撈且每次捕撈的魚都能全部**。
假如三年只是一次性投放足夠多的魚苗，我們可通過=5000（條）算出一天投放的魚苗數量，通過魚的**函式可以算出？。即我們只要求max就可以知道三年的收益。
根據題目的約束條件我們可以求的然後在算出每一條魚的平均利潤最後就能夠算出三年的利潤。
六、模型評價
優點：1、 通過兩種模型的求解、分析、對比獲得最優的養魚方案，使最優設計方案的結果的實際性、合理性、可行性得到加強，所假設的變數清晰、合理、不混淆，使得建立的模型簡單易懂。
2、 在模型二中我們可以清晰的看到魚的繁殖時間和**的關係，通過這個關係可以分析魚的價值取向，可以算出繁殖t天每條魚的利潤率，更好地反映投入與產出的關係。
缺點：1、 沒有考慮魚種內鬥爭、相互之間的競爭、水文條件等阻滯魚的生長的因素，作出的結論可能與實際情況有一定的誤差。
2、 模型乙隻是乙個基本簡單模型，在現實生活中具有不可取性，它只是從靜態方面作出的假設，沒有考慮現實瞬息萬變的情，而且沒有充分的利用池塘空間。
3、 模型二雖然作出了一定改進，使池塘容量得到進一步的利用，但是我們也忽略在捕撈魚成本以及養殖過程中的一些費用，放大了收入。
七、文獻參考
[1] 姜啟源謝金星葉俊，數學模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003
[2] webmaster.水產新聞資訊.
[3] 劉承平數學建模方法[m].北京：高等教育出版.2002：9—11.
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