三、 階梯式處理的理論基礎
學習理論指出：在學習過程中新知識的輸入、同化和操作取決於原有的認知結構，因而原有的認知結構對新知識的學習具有制約作用。一般而言，當新、舊知識之間跨度較小，相互容納時，學習就能順利進行。
反之，當新知識和學生的原認知結構脫節時就必然形成學習的難點。
階梯正建立在學生已有的認知水平和要學習的新知識之間的橋梁，在上面的例子中，函式值的概念是學生已有的知識，因此學生求f(3)、f(2)、f()是比較容易的，這是學生的「數學現實」。數學現實是著名數學教育家弗賴登塔爾( hans freudenthal)的三個數學教育原則之一，弗氏認為：每個人都有自己的數學現實，數學教學需要根據學生的數學現實來展開。
在上面的例子中，學生的數學現實是已知乙個函式求其函式值，因此我們的教學就得從函式值出發。但弗賴登塔爾沒有闡述如何在學生已有的知識和要學習的知識之間建立橋梁。而蘇聯心理學家維果茨基則對此做了論述，維果茨基的最近發展區理論認為：
在學生實力所能達到的水平與經過別人給予協助可能達到的水平之間有一段差距，這就是該學生的最近發展區。為了使學習能在這裡有效地展開，教師需要在這兩者之間為學習者提供一些幫助，教師給予的協助被稱之為「支架作用」(scaffolding)(vygotsky,1978)。
維果茨基的最近發展區理論在教學上具有重要的意義，教學的最佳效果產生於學生的最近發展區。當然最近發展區理論只能視為原則，不能作為方法。但它為我們的階梯式處理方法提供了堅實的理論基礎。
教學中如何確認學生的原有認知水平和潛在的發展水平，從而採用適當的方法為學生鋪設階梯，是教學工作的重點。
就前面的例子而言，f(3)、f(2)、f()就是介於函式值和求f(x)解析式之間的橋梁，這是第一層次的橋梁。
由於這類題目具有多種解法，上面的代換法是一種，還可以用「配湊法」，並且不同的問題採用這兩種方法的難易層度也不一樣。如已知f(x+)=x3+，求f(x)這個題目，就是用「配湊法」解簡單，用代換法就比較繁。什麼樣的題選用什麼樣的方法，則是更高層次的發展水平，以此而論配湊法和代換法都不過是維果茨基的支架而已。
只是它們是更高層次的橋梁而已。
四、如何設定階梯
高中數學教學中，對於教學中的具體難點，如何設定階梯呢？有多少型別的階梯式處理方式呢？歸納起來大致有這麼三種：從特殊到一般、圖象直觀和分散難點。
1、從特殊到一般
階梯設定的目的是為了方便學習者理解，激發學習興趣。故在設定時要考慮到學習者的知識起點，照顧其「數學現實」，即設定的階梯應是學生容易邁上去的，應由易到難，由底到高，這樣才能起到事半功倍的效果。在解題或教學過程中遇到困難的問題，從特殊開始是一種比較有效的方法。
這就給我們一種有益的啟示，對於有些難點也可以從特殊到一般。
上面的例子正是從特殊到一般的典型，同樣的方法顯然也適用於asinx+bcosx =sin(x+)的求解。
首先可以給出：求證：cos+sin=2sin()。由於在學習這個這個知識點之前，學生已經學過兩角和與差的正弦公式，下面的步驟他們是容易得到的。
2sin()=2sincos+2cossin= cos+sin
在此基礎上讓學生做下面的聯習：把sinx+cosx化為 asin(x+)的形式。
有了前面的基礎，易得： sinx+cosx=sinxcos+cosxsin=sin(x+)。
進一步把sinx+cosx化為 asin(x+)的形式，根據上一步的結論，有
sinx+cosx= (sinx+cosx)= sin(x+)。
最後，把asinx+bcosx化為 asin(x+)的形式。引導學生：asinx+bcosx
=t(sinx+cosx),，為了使此式化為asin(x+)的形式，只要使=cos， =sin即可，於是就有， += cos2 +sin2=1，從而，，取t =
得asinx+bcosx= (sinx+cosx)= sin(x+)。其中cos=，sin=，或tan=。
經過這樣的多步階梯處理，學習者在理解上就容易得多。
2、圖象直觀
有時在設定階梯時還要使用圖象，使問題直觀生動。例如求函式y=的最小值及相應的x的值。
這類問題在高中數學中是一種求函式最值的常見練習，直接做是很困難的。先讓學生解下面的問題：已知點a(1，1)和點b(2，3)，試在x軸上求一點p，使+最小。
對此，先求點a關於x軸的對稱點(1，－1)，則，於是+=+≥（如圖），故只要求
直線b和x軸的交點以及即可。再讓學生求動
點p(x，0)到兩點a(1，1)和b(2，3)的距離之和。有了
以上的兩級階梯，再求原問題求容易了。
y==，此式表示動點p(x，0)到定點a(1，1)和點b(2，3)的距離之和，問題就轉化為上面第乙個問題了。
3、分散難點
難點的形成，不僅表現在新知識和學生的原認知結構脫節時，還可以表現為新概念集中，這時候設定階梯就需要考慮如何分散難點，逐個解決。
「數列的極限」就是這樣的難點。首先，從極限概念的形成來看，從阿基公尺德的窮竭法到柯西給出的嚴格的定義，其間經歷了兩千多年，印證了人類在認識極限概念時的困難；其次，從概念的本質屬性來看，它刻畫了無限過程，是有限與無限的分水嶺，包含了形成難點的許多因素：定義本身包含多個新概念，「任意小」、「存在」等等；概念內涵悔澀難懂，的二重性、n對的依存性等；再從學生認知水平來看，學生長期接觸常量數學習，慣於有限過程 。
而極限概念描述了無限過程，而且是用有限的形式定量地給出，學生的認知水平很難適應。
為了幫助學生克服這個難點，可以把極限概念的學習分成幾個階段，第乙個階段學習描述性定義。「對於數列，如果存在常數a，當項數n無限增大時數列的項an無限趨近於常數a，就把a叫做數列的極限」。這個定義安排在高一數列之後學習，通過對具體數列的觀察直接可以歸納，從直觀上給學生認識。
第二階段在高二的絕對值不等式之後，讓學生明確的幾何意義，明確《的含義。第三階段提出「什麼是an無限趨近於常數a」，使學生認識到描述性定義有進一步精確話的必要，再分四步：其一，改「an無限趨近於a」為無限小，其二，再改為「能小於隨意指定的任何數」即<，其三，分析《成立的條件是「n無限增大」，並明確「n無限增大」的數學表達方式：
對任意的》0，總能找到一項an，使an後面所有的項都有《成立。最後學習嚴格的定義。通過對難點的層層分解，學生對極限概念應有乙個較深刻的理解。
通過以上分析可以看到，基於「最近發展區」理論的教學難點階梯式處理方式，能有效地克服學生學習中的困難，使他們易理解、易接受，保證了教學質量。同時讓學生嘗到了發現的喜悅，激發了學習的興趣。
參考文獻
1、 列夫·謝苗諾維奇·維果茨基.思維與語言.浙江教育出版社. 2023年1月.
2、 張春興. 教育心理學. 浙江教育出版社. 2023年10月.
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