2023年考研考前數學知識點終極梳理

2023年12月03日17:18 跨考教育微博

考研[微博]到了最後乙個月，這個時候考生在複習數學時，千萬不要再大量做題了，應該回歸教材，理清基本的知識點，梳理整個學科的知識框架。保持良好的心態，以最好的狀態走上考場。跨考教育[微博]數學教研室李擂老師根據多年的教學經驗，總結了考研數學高等數學的知識體系，希望能對廣大能有所幫助。

從整個學科上來看，高數實際上是圍繞著極限、導數和積分這三種基本的運算展開的。對於每一種運算，我們首先要掌握它們主要的計算方法；熟練掌握計算方法後，再思考利用這種運算我們還可以解決哪些問題，比如會計算極限以後：那麼我們就能解決函式的連續性，函式間斷點的分類，導數的定義這些問題。

這樣一梳理，整個高數的邏輯體系就會比較清晰。

極限部分：

極限的計算方法很多，總結起來有十多種，這裡我們只列出主要的：四則運算，等價無窮小替換，洛必達法則，重要極限，泰勒公式，中值定理，夾逼定理，單調有界收斂定理。每種方法具體的形式教材上都有詳細的講述，考生可以自己回顧一下，不太清晰的地方再翻到對應的章節看一看。

會計算極限之後，我們來說說直接通過極限定義的基本概念：

通過極限，我們定義了函式的連續性：函式在處連續的定義是，根據極限的定義，我們知道該定義又等價於。所以討論函式的連續性就是計算極限。然後是間斷點的分類，具體標準如下：

從中我們也可以看出，討論函式間斷點的分類，也僅需要計算左右極限。

再往後就是導數的定義了，函式在處可導的定義是極限存在，也可以寫成極限存在。這裡的極限式與前面相比要複雜一點，但本質上是一樣的。最後還有可微的定義，函式在處可微的定義是存在只與有關而與無關的常數使得時，有，其中。

直接利用其定義，我們可以證明函式在一點可導和可微是等價的，它們都強於函式在該點連續。

以上就是極限這個體系下主要的知識點。

導數部分：

導數可以通過其定義計算，比如對分段函式在分段點上的導數。但更多的時候，我們是直接通過各種求導法則來計算的。主要的求導法則有下面這些：

四則運算，復合函式求導法則，反函式求導法則，變上限積分求導。其中變上限積分求導公式本質上應該是積分學的內容，但出題的時候一般是和導數這一塊的知識點一起出的，所以我們就把它歸到求導法則裡面了。能熟練運用這些基本的求導法則之後，我們還需要掌握幾種特殊形式的函式導數的計算：

隱函式求導，引數方程求導。我們對導數的要求是不能有不會算的導數。這一部分的題目往往不難，但計算量比較大，需要考生有較高的熟練度。

然後是導數的應用。導數主要有如下幾個方面的應用：切線，單調性，極值，拐點。

每一部分都有一系列相關的定理，考生自行回顧一下。這中間導數與單調性的關係是核心的考點，考試在考查這一塊時主要有三種考法：①求單調區間或證明單調性；②證明不等式；③討論方程根的個數。

同時，導數與單調性的關係還是理解極值與拐點部分相關定理的基礎。另外，數學三的考生還需要注意導數的經濟學應用；數學一和數學二的考生還要掌握曲率的計算公式。

積分部分：

一元函式積分學首先可以分成不定積分和定積分，其中不定積分是計算定積分的基礎。對於不定積分，我們主要掌握它的計算方法：第一類換元法，第二類換元法，分部積分法。

這三種方法要融會貫通，掌握各種常見形式函式的積分方法。熟練掌握不定積分的計算技巧之後再來看一看定積分。定積分的定義考生需要稍微注意一下，考試對定積分的定義的要求其實就是兩個方面：