專題23：二次函式的的應用（幾何問題）
一、選擇題
1. （2023年湖北鄂州3分）已知拋物線的頂點為y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的頂點為p（x0，y0），點a（1，ya），b（0，yb），c（﹣1，yc）在該拋物線上，當y0≥0恆成立時，的最小值為【 】
a. b. c. d.
二、填空題
1. （2023年山東菏澤3分）如圖，平行於x軸的直線ac分別交函式與的圖象於b、c兩點，過點c作y軸的平行線交y1的圖象於點d，直線de∥ac，交y2的圖象於點e，則
三、解答題
1．（2023年福建福州14分）如圖，拋物線與x軸交於a，b兩點（點a在點b的左側），與y軸交於點c，頂點為d.
（1）求點a，b，d的座標；
（2）連線cd，過原點o作oe⊥cd，垂足為h，oe與拋物線的對稱軸交於點e，連線ae，ad.
求證：∠aeo=∠adc；
（3）以（2）中的點e為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側的拋物線上有一動點p，過點p作⊙o的切線，切點為q，當pq的長最小時，求點p的座標，並直接寫出點q的座標.
2．（2023年福建南平12分）如圖，已知拋物線圖象經過a（﹣1，0），b（4，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若c（m，m﹣1）是拋物線上位於第一象限內的點，d是線段ab上的乙個動點（不與a、b重合），過點d分別作de∥bc交ac於e，df∥ac交bc於f．
①求證：四邊形decf是矩形；
②鏈結ef，線段ef的長是否存在最小值？若存在，求出ef的最小值；若不存在，請說明理由．
3．（2023年福建三明14分）如圖，在平面直角座標系中，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的乙個交點為a（﹣2，0），與y軸的交點為c，對稱軸是x=3，對稱軸與x軸交於點b．
（1）求拋物線的函式表示式；
（2）經過b，c的直線l平移後與拋物線交於點m，與x軸交於點n，當以b，c，m，n為頂點的四邊形是平行四邊形時，求出點m的座標；
（3）若點d在x軸上，在拋物線上是否存在點p，使得△pbd≌△pbc？若存在，直接寫出點p的座標；若不存在，請說明理由．
4．（2023年福建廈門10分）如圖，已知c＜0，拋物線y=x2+bx+c與x軸交於a（x1，0），b（x2，0）兩點（x2＞x1），與y軸交於點c．
（1）若x2=1，bc=，求函式y=x2+bx+c的最小值；
（2）過點a作ap⊥bc，垂足為p（點p**段bc上），ap交y軸於點m．若，求拋物線y=x2+bx+c頂點的縱座標隨橫座標變化的函式解析式，並直接寫出自變數的取值範圍．
5．（2023年福建漳州14分）已知拋物線l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不為0）的頂點為m，與y軸的交點為n，我們稱以n為頂點，對稱軸是y軸且過點m的拋物線為拋物線l的衍生拋物線，直線mn為拋物線l的衍生直線．
（1）如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是衍生直線的解析式是
（2）若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求這條拋物線的解析式；
（3）如圖，設（1）中的拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點為m，與y軸交點為n，將它的衍生直線mn先繞點n旋轉到與x軸平行，再沿y軸向上平移1個單位得直線n，p是直線n上的動點，是否存在點p，使△pom為直角三角形？若存在，求出所有點p的座標；若不存在，請說明理由．
6．（2023年甘肅**、定西、平涼、酒泉、臨夏12分）如圖，在平面直角座標系xoy中，頂點為m的拋物線是由拋物線y=x2﹣3向右平移乙個單位後得到的，它與y軸負半軸交於點a，點b在該拋物線上，且橫座標為3．
（1）求點m、a、b座標；
（2）鏈結ab、am、bm，求∠abm的正切值；
（3）點p是頂點為m的拋物線上一點，且位於對稱軸的右側，設po與x正半軸的夾角為α，當α=∠abm時，求p點座標．
7．（2023年甘肅蘭州12分）如圖，拋物線與x軸交於a、b兩點，與y軸交於點c，拋物線的對稱軸交x軸於點d，已知a（﹣1，0），c（0，2）．
（1）求拋物線的表示式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點p，使△pcd是以cd為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出p點的座標；如果不存在，請說明理由；
（3）點e時線段bc上的乙個動點，過點e作x軸的垂線與拋物線相交於點f，當點e運動到什麼位置時，四邊形cdbf的面積最大？求出四邊形cdbf的最大面積及此時e點的座標．
8．（2023年廣東廣州14分）已知平面直角座標系中兩定點a（﹣1，0）、b（4，0），拋物線y=ax2+bx﹣2（a≠0）過點a，b，頂點為c，點p（m，n）（n＜0）為拋物線上一點．
（1）求拋物線的解析式和頂點c的座標；
（2）當∠apb為鈍角時，求m的取值範圍；
（3）若m＞，當∠apb為直角時，將該拋物線向左或向右平移t（0＜t＜）個單位，點c、p平移後對應的點分別記為c′、p′，是否存在t，使得首尾依次連線a、b、p′、c′所構成的多邊形的周長最短？若存在，求t的值並說明拋物線平移的方向；若不存在，請說明理由．
9．（2023年廣東梅州11分）如圖，已知拋物線與x軸的交點為a、d（a在d的右側），與y軸的交點為c.
（1）直接寫出a、d、c三點的座標；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點m，使得md+mc的值最小，並求出點m的座標；
（3）設點c關於拋物線對稱的對稱點為b，在拋物線上是否存在點p，使得以a、b、c、p四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由.
10．（2023年廣東汕尾10分）如圖，已知拋物線與x軸的交點為a、d（a在d的右側），與y軸的交點為c．
（1）直接寫出a、d、c三點的座標；
（2）若點m在拋物線上，使得△mad的面積與△cad的面積相等，求點m的座標；
（3）設點c關於拋物線對稱軸的對稱點為b，在拋物線上是否存在點p，使得以a、b、c、p四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，請求出點p的座標；若不存在，請說明理由．
11．（2023年廣西北海12分）如圖（1），拋物線與x軸交於a、b兩點，與y軸交於點c，其中點a的座標為（﹣2，0）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）①若點d是第一象限內拋物線上的乙個動點，過點d作de⊥x軸於e，連線cd，以oe為直徑作⊙m，如圖（2），試求當cd與⊙m相切時d點的座標；
②點f是x軸上的動點，在拋物線上是否存在一點g，使a、c、g、f四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點g的座標；若不存在，請說明理由．
12．（2023年廣西桂林12分）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+4與x軸交於a（,0）、b兩點，與y軸交於c點，其對稱軸為直線x=1.
（1）直接寫出拋物線的解析式
（2）把線段ac沿x軸向右平移，設平移後a、c的對應點分別為a′、c′，當c′落在拋物線上時，求a′、c′的座標；
（3）除（2）中的點a′、c′外，在x軸和拋物線上是否還分別存在點e、f，使得以a、c、e、f為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出e、f的座標；若不存在，請說明理由.
13．（ 2023年廣西河池12分）如圖（1），在平面直角座標系xoy中，拋物線與x軸交於，與y軸交於c(0，3)，頂點為d(1,4)，對稱軸為de.
（1）拋物線的解析式是
（2）如圖（2），點p是ad上的乙個動點，是p關於de的對稱點，鏈結pe，過作f∥pe交x軸於f.設，求y關於x的函式關係式，並求y的最大值；
（3）在（1）中的拋物線上是否存在點q，使△bcq成為以bc為直角邊的直角三角形？若存在，求出q的座標；若不存在，請說明理由.
14．（2023年廣西賀州12分）二次函式圖象的頂點在原點o，經過點a（1，）；點f（0，1）在y軸上．直線y=﹣1與y軸交於點h．
（1）求二次函式的解析式；
（2）點p是（1）中圖象上的點，過點p作x軸的垂線與直線y=﹣1交於點m，求證：fm平分∠ofp；
（3）當△fpm是等邊三角形時，求p點的座標．
15．（2023年廣西來賓12分）如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交於點a（1，0）和b（4，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的對稱軸交x軸於點e，點f是位於x軸上方對稱軸上一點，fc∥x軸，與對稱軸右側的拋物線交於點c，且四邊形oecf是平行四邊形，求點c的座標；
（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點p，使△ocp是直角三角形？若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由．
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