概率統計大題(理科)
真題歸類1回歸分析
1.(2016.18)下圖是我國2023年至2023年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖
（i）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關係，請用相關係數加以說明；
（ii）建立y關於t的回歸方程（係數精確到0.01），**2023年我國生活垃圾無害化處理量。
參考資料：，，，≈2.646.
參考公式：相關係數
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
（ⅱ）由及（ⅰ）得，
.所以，關於的回歸方程為：.
將2023年對應的代入回歸方程得：.
所以**2023年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.
2.(2015.19)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：
千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費x1和年銷售量y1（i=1,2，···，8）資料作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值。
表中w1 =， =1
（ⅰ）根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪乙個適宜作為年銷售量y關於年宣傳費x的回歸方程型別？（給出判斷即可，不必說明理由）
（ⅱ）根據（ⅰ）的判斷結果及表中資料，建立y關於x的回歸方程；
（ⅲ）以知這種產品的年利率z與x、y的關係為z=0.2y-x。根據（ⅱ）的結果回答下列問題：
（i） 年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
（ii） 年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？
附：對於一組資料（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回歸線v=u的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
【解析】
3.(2014.19)某地區2023年至2023年農村居民家庭純收入y（單位：千元）的資料如下表：
（ⅰ）求y關於t的線性回歸方程；
（ⅱ）利用（ⅰ）中的回歸方程，分析2023年至2023年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，並**該地區2023年農村居民家庭人均純收入.
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
， 【解析】
（1） 由所得資料計算得
=（1+2+3+4+5+6+7）=4，
= (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3
=9+4+1+0+1+4+9=28
=(-3) （-1.4）+（-2）（-1）+（-1）（-0.7）+00.1+10.5+20.9+31.6=14，
b===0.5
a=-b=4.3-0.54=2.3
所求回歸方程為=0.5t+2.3
(ⅱ)由（ⅰ）知，b=0.5>0,故2023年至2023年該地區農村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.
將2023年的年份代號t=9代入（1）中的回歸方程，得
y=0.5×9+2.3=6.8
故**該地區2023年農村居民家庭人均純收入為6.8千元
真題歸類2獨立性檢驗
1.(2010.19)為調查某地區老年人是否需要志願者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區調查了500位老年人，結果如下：
（ⅰ)估計該地區老年人中，需要志願者提供幫助的老年人的比例；
（ⅱ）能否有99%的把握認為該地區的老年人是否需要志願者提供幫助與性別有關？
（ⅲ）根據（ⅱ）的結論，能否提出更好的調查方法來估計該地區的老年人中，需要志願者提供幫助的老年人的比例？說明理由.附:
【解析】(1)調查的500位老年人中有70位需要志願者提供幫助，因此該地區老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計值為＝14%.
(2)k2＝≈9.967.
由於9.967>6.635，所以有99%的把握認為該地區的老年人是否需要幫助與性別有關．
(3)由(2)的結論知，該地區老年人是否需要幫助與性別有關，並且從樣本資料能看出該地區男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調查時，先確定該地區老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層並採用分層抽樣方法，比採用簡單隨機抽樣方法更好．
真題歸類3隨機事件的概率
1.(2015.18)某公司為了解使用者對其產品的滿意度，從a，b兩地區分別隨機調查了20個使用者，得到使用者對產品的滿意度評分如下：
a地區：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
b地區：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（ⅰ）根據兩組資料完成兩地區使用者滿意度評分的莖葉圖，並通過莖葉圖比較兩地區滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結論即可）；
（ⅱ）根據使用者滿意度評分，將使用者的滿意度從低到高分為三個不等級：
記時間c：「a地區使用者的滿意度等級高於b地區使用者的滿意度等級」。假設兩地區使用者的評價結果相互獨立。根據所給資料，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，求c的概率
【解析】
2.(2016.18)某險種的基本保費為（單位：元），繼續購買該險種的投保人稱為續保人，續保人的本年度的保費與其上年度的出險次數的關聯如下：
設該險種一續保人一年內出險次數與相應概率如下：
（ⅰ）求一續保人本年度的保費高於基本保費的概率；
（ⅱ）若一續保人本年度的保費高於基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；
（ⅲ）求續保人本年度的平均保費與基本保費的比值．
真題歸類4頻率分布直方圖
1.(2009.18)某工廠有工人1 000名,其中250名工人參加過短期培訓(稱為a類工人),另外750名工人參加過長期培訓(稱為b類工人).
現用分層抽樣方法(按a類,b類分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人,調查他們的生產能力(此處生產能力指一天加工的零件數).
(1)求甲、乙兩工人都被抽到的概率,其中甲為a類工人,乙為b類工人;
(2)從a類工人中的抽查結果和從b類工人中的抽查結果分別如下表1和表2.
表1:表2:
①先確定x,y,再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖.就生產能力而言,a類工人中個體間的差異程度與b類工人中個體間的差異程度哪個更小?(不用計算,可通過觀察直方圖直接回答結論)
圖1 a類工人生產能力的頻率分布直方圖
圖2 b類工人生產能力的頻率分布直方圖
②分別估計a類工人和b類工人生產能力的平均數,並估計該工廠工人的生產能力的平均數(同一組中的資料用該組區間的中點值作代表)
【解析】本小題第(1)問考查分層抽樣和相互獨立事件同時發生的概率.
第(2)問考查頻率分布直方圖及期望的求解.
解:(1)甲、乙被抽到的概率均為,且事件「甲工人被抽到」與事件「乙工人被抽到」相互獨立,故甲、乙兩工人都被抽到的概率為.
(2)①由題意知a類工人中應抽查25名,b類工人中應抽查75名.
故4+8+x+5+3＝25,得x＝56+y+36+18＝75,得y＝15.
頻率分布直方圖如下:
圖2 b類工人生產能力的頻率分布直方圖
從直方圖可以判斷:b類工人中個體間的差異程度更小.②,,
.a類工人生產能力的平均數,b類工人生產能力的平均數以及全廠工人生產能力的平均數的估計值分別為123,133.8和131.1.
2.(2017.18)海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，收穫時各隨機抽取了100 個網箱，測量各箱水產品的產量（單位：kg）．其頻率分布直方圖如下：
（1）設兩種養殖方法的箱產量相互獨立，記a表示事件：「舊養殖法的箱產量低於50kg，新養殖法的箱產量不低於50kg」，估計a的概率；
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