數值計算中的誤差：
模型誤差、引數誤差、截斷誤差（方法誤差）和捨入誤差（計算誤差）。
截斷誤差是對參與計算的數學公式做簡化可行處理後所產生的誤差（用有限過程代替無限過程或用容易計算的方法代替不容易計算的方法），即數學模型的數值解與精確解之間的誤差，是計算方法關注的內容。捨入誤差是由於計算機只能表示有限位數字，因而只能取有限位數進行計算所得的誤差，它也是計算方法關注的內容。
絕對誤差 --- 近似數 x * 關於準確數 x 的絕對誤差：
e(x) = x － x *（或 e(x *) = x － x * ）
近似數 x * 關於準確數 x 的絕對誤差限：｜e(x)｜= ｜x － x * ｜
工程上表示準確數 x 的範圍：x * － x x * + 或 x = x *
函式值的絕對誤差：e[f (x)] ≈ f 』(x) e(x) （利用微分中值公式匯出）
相對誤差 --- 近似數 x * 關於準確數 x 的相對誤差：
近似數 x * 關於準確數 x 的相對誤差限：
函式值的相對誤差限
n 位有效數字的近似數 x * 其相對誤差
相對誤差為
的近似數 x * 至少具有 n 位有效數字。
lagrange插值公式的標準型公式:
newton插值法
差商具有如下性質：
(2) 差商具有對稱性,即任意調換節點的次序,差商的值不變
newton插值餘項：
newton插值的乙個性質：
hermite插值法：
兩點三次hermite插值：設在節點處的函式值為、，在節點處的一階導數值為，，
其餘項為：
分段低次插值法：
分段線性插值函式滿足的條件：
1.；2.；3.在每乙個上，是一次（線性）多項式。
分段線性插值的誤差估計：
分段三次hermite插值函式的條件：
1.；2.；3.在每乙個上，是三次多項式。
分段三次hermite插值多項式，其餘項為也就是說：
分段低次插值的特點：優點：計算較容易，可以解決runge現象,可保證收斂性
缺點：但插值多項式分段，插值曲線在節點處會出現尖點,不可導
曲線擬合：（利用法方程來解）
連續函式的最佳平方逼近
插值型求積公式
(1)式為數值求積公式. ak為求積係數, 且僅與求積節(結)點xk有關
此時二者之間不再是約等於，而是等於，兩者是精確相等的關係。
newton-cotes數值求積公式
newton-cotes公式是指等距節點下使用lagrange插值多項式建立的數值求積公式
n階newton-cotes求積公式：
newton-cotes公式的餘項(誤差)：
是cotes係數。
newton-cotes公式化為：
代數精度：
(1). 梯形(trapezia)公式及其餘項 （梯形(trapezia)公式具有1次代數精度）
(2). simpson公式及其餘項（simpson公式具有3次代數精度）
常用的nc公式：
cotes係數的性質:
newton-cotes公式的穩定性(捨入誤差)
， 則則，此時，誤差是可以控制的
復化求積法：
復化梯形公式：
復化simpson公式：
單純的求積公式復化求積公式的每個小區間
高斯公式求積公式：高斯點一定不包括區間的端點。
線性方程組直接解法：
高斯(gauss)消去法：由消元過程和回代過程構成.
基本思想：用矩陣行的初等變換將方程組係數矩陣a約化為簡單三角形矩陣,然後回代求解.
順序gauss消去法的乘除法運算總的次數為：
高斯(gauss)消去（元）過程是在假定的條件下進行的。
gauss列主元消去法：
列主元的意義：為了提高計算精度；為了提高公式的數值穩定性。
列主元消去過程：在消去過程的第k步，先從a（k）的第k列中的及以下的元素中選出新的主元素，使得當時，將第k行與第行交換後接著開始消元。
矩陣的三種形式的分解：
doolittle分解: a = lu (單位下三角與上三角) crout分解: (下三角與單位上三角) ldu分解:
a = ldu (單位下三角, 對角及單位上三角)
則稱a為嚴格對角佔優且至少有乙個嚴格不等號，則稱a為弱對角佔優
a為對角佔優，
這可以用追趕法求得。
(譜半徑有界) 設,則對任一種運算元範數,均有
設, 則的充要條件是b的譜半徑1
方程組的病態程度可由係數矩陣a(非奇異) 的條件數,其值越大越是病態。：即
：定理6.3 若a為嚴格對角佔優陣，則jacobi 迭代法和g-s迭代法收斂。
定理6.4 若a為對稱正定陣，則g-s迭代法收斂。 若要求jacobi 迭代法也收斂，則要加上2d-a也是對稱正定陣。
超鬆弛迭代法(sor)：
非線性方程求解：
常用的求根方法分為區間法和迭代法兩大類。
定理1.(根的存在定理)
假設函式y=f(x)ca,b,且f(a)·f(b)<0, 則至少存在一點x (a,b)使得f(x )=0.
(並稱區間(a,b)為有根區間)
定理2.
假設函式y=f(x)在a,b上單調連續,且f(a)·f(b)<0, 則恰好只存在一點x (a,b)使得f(x )=0
定理3.
假設函式y=f(x)在x=s的某一鄰域內充分可微，則s是方程f(x )=0的m重根的充分必要條件是
二分法也稱對分區間法、對分法等，是最簡單的求根方法，屬於區間法求根型別。基本思想：利用連續函式的零點定理，將含根區間逐次減半縮小，就可以構造出收斂點列來逼近根。
二分法的優缺點：
優點：①簡單並保證收斂; ② 對f (x) 要求不高(只要連續即可) .
缺點：①無法求復根 ② 收斂慢 (僅與乙個以 1/2為比值的等比級數相同) 呼叫一次求解乙個[a, b]間的多個根無法求得
迭代法：
定理：如果存在的某個鄰域，使迭代過程對於任意初值均收斂，則稱迭代過程在根鄰近具有區域性收斂性。
設為方程的根，在的鄰域存在且連續並滿足, 則迭代過程區域性收斂。
判別收斂階的兩個定理：
定理7.4：對於迭代過程，如果在所求根的鄰近連續，並且 :
則該迭代過程在點鄰近是p階收斂的。
牛頓迭代法的步驟：
1、 準備。選定初始近似值，計算
2、 迭代。按公式迭代一次，得到新的近似值，計算
3、 控制。如果滿足或則終止迭代，以作為所求的根；否則轉步四。此處是允許誤差其中c是取絕對誤差或相對誤差的控制常數，一般可取c=1。
4、 修改。如果迭代次數達到預定指定的次數n，或者,則方法失敗；否則以代替轉步二繼續迭代。
定理7.3.1 設 f(x*)=0, ,且在 x* 的鄰域上存在, 連續, 則可得
（1）newton迭代公式在單根情況下至少2階收斂;
（2）newton迭代法的應用：（開方公式）
定理開方公式對於任意給定的初值均為平方收斂。
牛頓迭代法的優缺點：
優點： 在單根附近, 牛頓迭代法具有平方收斂的速度，所以在迭代過程中只要迭代幾次就會得到很精確的解。
缺點:1. 重根情形下為區域性線性收斂;
2. 牛頓迭代法計算量比較大: 因每次迭代除計算函式值外還要計算導數值;
3. 選定的初值要接近方程的解，否則有可能得不到收斂的結果;
華工研究生 數值分析部分總結
數值計算中的誤差 模型誤差 引數誤差 截斷誤差 方法誤差 和捨入誤差 計算誤差 截斷誤差是對參與計算的數學公式做簡化可行處理後所產生的誤差 用有限過程代替無限過程或用容易計算的方法代替不容易計算的方法 即數學模型的數值解與精確解之間的誤差，是計算方法關注的內容。捨入誤差是由於計算機只能表示有限位數字...
研究生數值分析習題
1.五個節點的newton cotes求積公式的代數精度為 五個節點的求積公式最高代數精度為即gauss型求積公式 2.已知數值求積公式為，則其代數精度為 3.數值積分公式的代數精度為 4.要使求積公式具有2次代數精度，則 5.在newton cotes求積公式 中，當係數是負值時，公式的穩定性不能...
2019級碩士研究生數值分析上機實習報告
姓名 李友龍學號 15s030015 學院 船舶與海洋工程 實習題目 分別用復化梯形公式和復化simpson公式計算積分 的近似值和.實習目的 體會兩種復化求積公式的收斂性與收斂速度.實習要求 用c程式語言程式設計上機進行計算，結果要有八位有效數字.報告內容 1.寫出求和的復化求積公式 2.寫出具有...