圖形折疊型題
ⅰ、專題精講:
折疊型問題是近年中考的熱點問題，通常是把某個圖形按照給定的條件摺疊，通過摺疊前後圖形變換的相互關係來命題.折疊型問題立意新穎，變幻巧妙，對培養學生的識圖能力及靈活運用數學知識解決問題的能力非常有效.
摺疊的規律是：關注「兩點一線」在翻摺過程中，我們應關注「兩點」，即對稱點，思考自問「哪兩個點是對稱點?」 ；還應關注「一線」，即折線，也就是對稱軸。
這是解決問題的基礎.摺疊部分的圖形，摺疊前後，關於摺痕成軸對稱，兩圖形全等.摺疊圖形中有相似三角形，常用勾股定理.
摺疊剪下問題是考察學生的動手操作問題，學生應充分理解操作要求方可解答出此類問題.
ⅱ、典型例題剖析：
一．摺疊後求度數
例1. 如圖,把乙個長方形紙片沿ef摺疊後，點d、c分別落在d′、c′的位置，若∠efb＝65°，則∠aed′等於（ ）
例2. 將一張長方形紙片按如圖所示的方式摺疊，em，mf為摺痕（如圖所示），則∠emf的度數為（ ）
a．50b．55° c．60° d．65°
變式：已知點p是矩形abcd邊ab上的任意一點（與點a、b不重合）
（1）如圖①，現將△pbc沿pc翻摺得到△pec；再在ad上取一點f，將△paf沿pf翻摺得到△pgf，並使得射線pe、pg重合，試問fg與ce的位置關係如何，請說明理由；
（2）在（1）中，如圖②，連線fc，取fc的中點h，連線gh、eh，請你探索線段gh和線段eh的大小關係，並說明你的理由；
（3）如圖③，分別在ad、bc上取點f、c』，使得∠apf=∠bpc』，與（1）中的操作相類似，即將△paf沿pf翻摺得到△pfg，並將△沿翻折得到△，連線，取的中點h，連線gh、eh，試問（2）中的結論還成立嗎？請說明理由．
例3. 用一條寬相等的足夠長的紙條，打乙個結，如圖（1）所示，然後輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖（2）所示的正五邊形abcde，其中∠bac＝ 度.
例4.（1）觀察與發現： 小明將三角形紙片abc（ab >ac）沿過點a的直線摺疊，使得ac落在ab邊上，摺痕為ad，展開紙片（如圖①）；再次摺疊該三角形紙片，使點a和點d重合，摺痕為ef，展平紙片後得到△aef（如圖②）．小明認為△aef是等腰三角形，你同意嗎？
請說明理由．
（2）實踐與運用：將矩形紙片abcd沿過點b的直線摺疊，使點a落在bc邊上的點f處，摺痕為be（如圖③）；再沿過點e的直線摺疊，使點d落在be上的點d′處，摺痕為eg（如圖④）；再展平紙片（如圖⑤）．求圖⑤中∠α的大小．
二、摺疊後求面積
例5. 如圖,有一矩形紙片abcd,ab=10,ad=6,將紙片摺疊，使ad邊落在ab邊上，摺痕為ae，再將△aed以de為摺痕向右摺疊，ae與bc交於點f，則△cef的面積為（ ）
a．4b．6c．8d．10
例6. 如圖，正方形硬紙片abcd的邊長是4，點e、f分別是ab、bc的中點，若沿左圖中的虛線剪開，拼成如下右圖的一座「小別墅」，則圖中陰影部分的面積是（ ）
a．2b．4c．8d．10
例7. 如圖，abcd中，ab=3，bc=4，如果將該沿對角線bd，求圖中陰影部分的面積.
變式：如圖，把乙個矩形紙片oabc放入平面直角座標系中，使oa、oc分別落在x軸、y軸上，鏈結ob，將紙片oabc沿ob摺疊點a落在a＇的位置上.若ob＝，tan∠boc＝0.
5，求點a＇的座標為
三．摺疊後求長度
已知矩形紙片abcd，ab＝2，ad＝1將紙片摺疊，使頂點a與邊cd上的點e重合.
（1）如果摺痕fg分別與ad，ab交於點f，g（如圖（1），）af＝.求de的長.
（2）如果摺痕fg分別與cd，ab交於點f，g（如圖（2），），△aed的外接圓與直線bc相切，求摺痕fg的長.
例8. 如圖，已知邊長為5的等邊三角形abc紙片，點e在ac邊上，點f在ab邊上，沿著ef摺疊，使點a落在bc邊上的點d的位置，且，則ce的長是（ ）
a. 10－15 b. 10－5 c. 5－5 d. 20－10
四．摺疊後得圖形
例9.將一張矩形紙對折再對折（如圖），然後沿著圖中的虛線剪下，得到①、②兩部分，將①展開後得到的平面圖形是（ ）
a．矩形 b．三角形 c．梯形 d．菱形
例10. 在我們學習過的數學教科書中，有乙個數學活動，其具體操作過程是：
第一步：對折矩形紙片abcd，使ad與bc重合，得到摺痕ef，把紙片展開（如圖1）；
第二步：再一次摺疊紙片，使點a落在ef上，並使摺痕經過點b，得到摺痕bm，同時得到線段bn（如圖2）．
請解答以下問題：
（1）如圖2，若延長mn交bc於p，△bmp是什麼三角形？請證明你的結論；
（2）在圖2中，若ab=a，bc=b，a、b滿足什麼關係，才能在矩形紙片abcd上剪出符合（1）中結論的三角形紙片bmp？
（3）設矩形abcd的邊ab=2，bc=4，並建立如圖3所示的直角座標系．設直線bm′為y=kx，當∠m′bc=60°時，求k的值．此時，將△abm′沿bm′摺疊，點a是否落在ef上（e、f分別為ab、cd中點），為什麼？
例11. 如圖1所示，把乙個正方形三次對折後沿虛線剪下，則所得的圖形是（ ）
例12. 如圖，已知bc為等腰三角形紙片abc的底邊，ad⊥bc，ad=bc. 將此三角形紙片沿ad剪開，得到兩個三角形，若把這兩個三角形拼成乙個平面四邊形，則能拼出互不全等的四邊形的個數是（ ）
a. 1b. 2 c. 3 d. 4
五．摺疊後得結論
例13. 能力訓練p104，第14題
例14. 一張矩形紙片經過摺疊得到乙個三角形（如圖），則矩形的長與寬的比為
六．摺疊和剪下的應用
例15.在一張長12cm、寬5cm的矩形紙片內，要摺出乙個菱形.李穎同學按照取兩組對邊中點的方法折出菱形efgh（見方案一），張豐同學沿矩形的對角線ac摺出∠cae=∠dac，∠acf=∠acb的方法得到菱形aecf（見方案二），請你通過計算，比較李穎同學和張豐同學的摺法中，哪種菱形面積較大？
七．以摺疊為背景的存在性問題
例16. 已知矩形紙片oabc的長為4，寬為3，以長oa所在的直線為x軸，o為座標原點建
立平面直角座標系；點p是oa邊上的動點（與點o、a不重合），現將△poc沿pc翻摺
得到△pec，再在ab邊上選取適當的點d，將△pad沿pd翻摺，得到△pfd，使得
直線pe、pf重合．
（1）若點e落在bc邊上，如圖①，求點p、c、d的座標，並求過此三點的拋物線的函式關係式；
（2）若點e落在矩形紙片oabc的內部，如圖②，設op＝x，ad＝y，當x為何值時，y取得最大值？
（3）在（1）的情況下，過點p、c、d三點的拋物線上是否存在點q使△pdq是以pd為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點q的座標
八．以摺疊為背景的探索題
例17.已知：矩形紙片abcd中，ab＝26cm，bc＝18.5cm，點e在ad上，且ae＝6cm，點p是ab邊上一動點，按如下操作：
步驟一，摺疊紙片，使點p與點e重合，展開紙片得摺痕mn（如圖（1）所示）；
步驟二，過點p作pt⊥ab交mn所在的直線於點q，鏈結qe（如圖（2）所示）；
（1）無論點p在ab邊上任何位置，都有pqqe（填號 ）
（2）如圖（3）所示，將矩形紙片abcd放在直角座標系中，按上述步驟
一、二進行操作：
①當點p在a點時，pt與mn交於點q1， q1點的座標是
②當pa＝6cm時，pt與mn交於點q2，q2點的座標是
③當pa＝12cm時，在圖（3）中畫出mn，pt（不要求寫畫法）並求出mn與pt的交點q3的座標；
（3）點p在在運動過程中，pt與mn形成一系列的交點q1，q2，q3…觀察，猜想：眾多的交點形成的圖象是什麼？並直接寫出該圖象的函式表示式.
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