相似形的應用
一選擇題
1. （2011深圳市全真中考模擬一）小華同學自製了乙個簡易的幻燈機，其工作情況如圖所示，幻燈片與螢幕平行，光源到幻燈片的距離是30cm幻燈片到螢幕的距離是1.5m，幻燈片上小樹的高度是10cm，則螢幕上小樹的高度是
(a)50cm．
(b)500cm．
(c)60 cm．
(d)600cm．
答案： c第1題）
2. （2011湖北武漢調考模擬二）如圖2，在正方形abcd中，ab=4，點o在ab上，且ob=1，點p是bc上一動點，連線op，將線段op繞點d逆時針旋轉90°得到線段oq.要使點q恰好落在ad上，則bp的長
是( )
a．1 b．2 c．3 d．4
（第2題）
答案：c
二填空題
1. （2011深圳市全真中考模擬一）如圖，rt△abc中， a＝90，ab＝4，ac＝3，d在bc上運動(不與b、c重合)，過d點分別向ab、ac作垂線，垂足分別為e、f，則矩形aedf的面積的最大值為
（第1題）
答案：3
2.（安徽蕪湖2011模擬）如圖，小明在a時測得某樹的影長為2m，b時又測得該樹的影長為8m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為_____m.
答案: 4
3.（2011湖北省崇陽縣城關中學模擬） 如圖是小明設計用手電來測量某古城牆高度的示意圖，點p處放一水平的平面鏡，光線從點a出發經平面鏡反射後剛好射到古城牆cd的頂端c處，已知ab⊥bd，cd⊥bd，且測得ab=1.2公尺，bp=1.
8公尺，pd=12公尺， 那麼該古城牆的高度是 ▲ 公尺. 答案：8
4. （2023年浙江省杭州市模2）如圖是小明設計用手電來測量某古城牆高度的示意圖，點p處放一水平的平面鏡，光線從點a出發經平面鏡反射後剛好射到古城牆cd的頂端c處，已知ab⊥bd，cd⊥bd，且測得ab=1.2公尺，bp=1.
8公尺，pd=12公尺， 那麼該古城牆的高度是公尺.
答案：8
三解答題
1. 如圖，在等腰中，，，點從點開始沿邊以每秒1的速度向點運動，點從點開始沿邊以每秒2的速度向點運動，保持垂直平分，且交於點，交於點．點分別從兩點同時出發，當點運動到點時，點、停止運動，設它們運動的時間為．
（1）當= 秒時，射線經過點；
（2）當點運動時，設四邊形的面積為，求與的函式關係式(不用寫出自變數取值範圍)；
（3）當點運動時，是否存在以為頂點的三角形與△相似？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
答案:26.解：（13分
(當經過點時，∵⊥， ∴
， 即得
∴當時，當經過點)
（2）分別過點、作，⊥垂足為、．
cm， cm， ∴（cm）
即 ……………6分
又 ∴==
∴=－即
（3）存在
理由如下：
∵⊥∴⊥時△∽△
此時，△∽△
∴即2.(2011浙江省杭州市10模)（本題10分）如圖①，四邊形abcd是正方形, 點g是bc上任意一點，de⊥ag於點e，bf⊥ag於點f.
(1) 求證：de－bf = ef．
(2) 當點g為bc邊中點時, 試**線段ef與gf之間的數量關係，
並說明理由．
(3) 若點g為cb延長線上一點，其餘條件不變．
請你在圖②中畫出圖形，寫出此時de、bf、ef之間的數量關係（不需要證明）．
(1) 證明:
∵ 四邊形abcd 是正方形, bf⊥ag , de⊥ag
∴ da=ab， ∠baf + ∠dae = ∠dae + ∠ade = 90°∴ ∠baf = ∠ade
∴ △abf ≌ △daebf = ae , af = de
∴ de－bf = af－ae = ef
（2）ef = 2fg 理由如下：∵ ab⊥bc , bf⊥ag , ab =2 bg
∴ △afb ∽△bfg ∽△abg
∴ ………6分∴ af = 2bf , bf = 2 fg
由(1)知, ae = bf，∴ ef = bf = 2 fg
(3) 如圖9分de + bf = ef
3．（2023年杭州市西湖區模擬）（本題6分）如圖，是正方形網格中的格點三角形（頂點在格上），請在正方形網格上按下列要求畫乙個格點三角形與相似，並填空：
（1）在圖甲中畫，使得的周長是的周長的倍，則= ；
（2）在圖乙中畫，使得的面積是的面積的倍，則= ；
答案：（本題6分）
（1）； （2
(每個填空題正確得1分，每個圖形畫正確得2分)
4. （2011深圳市中考模擬五）如圖，在一塊如圖所示的三角形餘料上裁剪切乙個正方形，如果△abc為直角三角形，且∠acb＝90°，ac＝4，bc＝3，正方形的四個頂點d、e、f、g分別在三角形的三條邊上．
求正方形的邊長．
答案：解：作ch⊥ab於h，
∵四邊形defg為正方形，∴cm⊥gf
由勾股定理可得ab＝5
根據三角形的面積不變性可求得ch＝…………………2分
設gd＝x
∵gf ∥ab
∴∠cgf＝∠a ,∠cfg＝∠b
∴△abc∽△gfc
∴ 即 …………………6分
整理得：12－5x ＝x
解得：x＝…………………9分
答：正方形的邊長為…………………10分
5. （2011深圳市中考模擬五）已知：如圖所示的一張矩形紙片（），將紙片摺疊一次，使點與重合，再展開，摺痕交邊於，交邊於，分別鏈結和．
（１）求證：四邊形是菱形；
（２）若，的面積為，求的周長；
（３）**段上是否存在一點，使得2ae＝ac·ap？
若存在，請說明點的位置，並予以證明；若不存在，請說明理由．
答案: （１）證明：由題意可知oa＝oc，ef⊥ao
∵ad∥bc
∴∠aeo＝∠cfo，∠eao＝∠fco
∴△aoe≌△cof
∵ae＝ce，又ae∥cf
∴四邊形aecf是平行四邊形 ∵ac⊥ef ∴四邊形aefc是菱形
（2）∵四邊形aecf是菱形 ∴af＝ae＝10…………………4分
設ab＝ａ，bf＝ｂ，∵△abf的面積為24
a＋b＝100，ab＝48
(a＋b）＝196 ａ＋ｂ＝14或ａ＋ｂ＝－14（不合題意，捨去）
△abf的周長為ａ＋ｂ＋10＝24…………………8分
（３）存在，過點e作ad的垂線，交ac於點p，點p就是符合條件的點
證明：∵∠aep＝∠aoe＝90°，∠eao＝∠eap
∴△aoe∽△aepae＝ao·ap
∵四邊形aecf是菱形，∴ao＝ac
∴ae＝ac·ap
∴2ae＝ac·ap…………………12分
6. （2011湖北武漢調考模擬二） 在等邊△abc中，d、e分別在ac、bc上，且ad=ce=nac，連ae、bd相交於p，過b作bq⊥ae於點q，連cp.
(1)∠bpq
(2)若bp⊥cp，求；
(3)當n=_____時，bp⊥cp
第6題）
答案：(1)60°，；
(2)解：在bp上取bk=ap．連ak,
∵△ace≌△bad,∴ ∠cae=∠abd,
∴bk=ap,ab=ca ,∴△ acp≌△bak,
∴∠bak=∠acp,∴ ∠akp=∠cpe=300.
又∠apb=1200.
∴∠akp=∠kap=300,
∴ap=pk,∴= ⑶
7、路邊有一根電線桿ab和一塊正方形廣告牌．
有一天，小明突然發現，在太陽光照射下，電線桿頂
端a的影子剛好落在正方形廣告牌的上邊中點g處，
而正方形廣告牌的影子剛好落在地面上e點（如圖），
已知bc=5公尺，正方形邊長為3公尺，de=4公尺．
（1）求電線桿落在廣告牌上的影長；
（2）求電線桿的高度（精確到0.1公尺）．
解：（1）電線桿落在廣告牌上的影長為3+1.5=4.5（公尺）…………（2分）
（2）作gh⊥ab於h，依題意得：hg=bc+0.5cd=5+1.5=6.5…………（3分）
因為：,df=3,de=4. …………（4分）
所以：ah==4.875…………（5分）
所以：電線桿的高度為:
ab=ah+bh=ah+df=3+4.875=7.875≈7.9．…………（6分）
答：（1）廣告牌上的影長為4.5公尺；（2）電線桿的高度為7.9公尺。…………（7分）
8.（2011深圳市三模）如圖，小麗在觀察某建築物ab.
（1）請你根據小亮在陽光下的投影，畫出建築物在陽光下的投影.
（2）已知小麗的身高為1.65m，在同一時刻測得小麗和建築物ab的投影長分別為1.2m和8m，求建築物ab的高.
解（1）如圖.（2）如圖，因為de，af都垂直於地面，且光線df∥ac，所以rt△def∽rt△abc.所以.所以.所以ab＝11（m）.即建築物ab的高為.
9、（趙州二中九年七班模擬）已知正方形紙片abcd的邊長為2．
操作：如圖1，將正方形紙片摺疊，使頂點a落在邊cd上的點p處(點p與c、d不重合)，摺痕為ef，摺疊後ab邊落在pq的位置，pq與bc交於點g．
**：(1)觀察操作結果，找到乙個與△dep相似的三角形，並證明你的結論；
(2)當點p位於cd中點時，你找到的三角形與△dep周長的比是多少？
答案：解：(1)與相似的三角形是．
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