直角三角形與勾股定理
一、 選擇題
1、(2011浙江杭州模擬14)如圖摺疊直角三角形紙片的直角，使點c落在斜邊ab上的點e處. 已知ab=, ∠b=30°, 則de的長是( ).
a. 6 b. 4cd. 2
答案：b
2.（2011湖北崇陽縣城關中學模擬）直角三角形兩直角邊和為7，面積為6，則斜邊長為（ ）
a. 5bc. 7d.
答案：a
3．（2023年杭州市上城區一模）梯形abcd中ab∥cd，∠adc+∠bcd=90°，以ad、ab、bc為斜邊向形外作等腰直角三角形，其面積分別是s1、s2、s3 ，
且s1 +s3 =4s2，則cd=（ ）
a. 2.5ab b. 3ab c. 3.5ab d. 4ab
答案：b
4．（2023年浙江省杭州市模2）直角三角形兩直角邊和為7，面積為6，則斜邊長為（ ）
a. 5bc. 7d.
答案：a
二、 填空題
1、（2023年北京四中三模）如圖是乙個藝術窗的一部分，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長為5cm，則正方形a、b、c、d的面積和是
答案：25cm2
2．（2010－2011學年度河北省三河市九年級數學第一次教學質量檢測試題）如圖是兩個全等的三角形紙片，其三邊長之比為3：4：5，按圖中方法分別將其對折，使摺痕（圖中虛線）過其中的乙個頂點，且使該頂點所在兩邊重合，記摺疊後不重疊部分面積分別為sa，sb，已知sa+sb=13，則紙片的面積是
答案：36
3、(2011浙江杭州模擬15)如圖，將含30°角的直角三角尺abc繞點b順時針旋轉150°後得到△ebd，鏈結cd.若ab=4cm. 則△bcd的面積為 ．
答案：4．(2023年寧夏銀川)將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若=14cm，則陰影部分的面積_________cm2．
答案：5.(2011浙江省杭州市8模)如圖1，是我國古代著名的「趙爽弦圖」的示意圖，它是由四全等的直角三角形圍成的，若ac=6，bc=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的「數學風車」，則這個風車的外圍周長是
第5題圖)
答案:76
6、（2023年浙江杭州二模）如圖是小明設計用手電來測量某古城牆高度的示意圖，點p處放一水平的平面鏡，光線從點a出發經平面鏡反射後剛好射到古城牆cd的頂端c處，已知ab⊥bd，cd⊥bd，且測得ab=1.2公尺，bp=1.8公尺，pd=12公尺， 那麼該古城牆的高度是公尺.
答案：8
7、（2023年浙江杭州八模）如圖，小明在a時測得某樹的影長為3公尺，b時又測得該樹的影長為12公尺，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為_____公尺.
答案：6
第8題圖
8、（2023年浙江杭州八模）如圖1，是我國古代著名的「趙爽弦圖」的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若ac=6，bc=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的「數學風車」，則這個風車的外圍周長是
答案：76
9. (浙江省杭州市黨山鎮中2023年中考數學模擬試卷)如圖，將邊長為的等邊△abc摺疊，摺痕為de，點b與點f重合，ef和df分別交於點m、n，dfab，垂足為d，ad＝1，則重疊部分的面積為
答案：b組1．（ 2023年杭州三月月考）將一副三角板按如圖1位置擺放,使得兩塊三角板的直角邊ac和md重合.已知ab=ac=8 cm,將△med繞點a(m)逆時針旋轉60°後(圖2),兩個三角形重疊（陰影）部分的面積是 ▲ cm2
答案：2．（2023年重慶江津區七校聯考一模）一元二次方程的兩根恰好是一直角三角形的兩邊長，則該直角三角形的面積為
答案： 6或
3、（2023年浠水模擬2）如圖1，是我國古代著名的「趙爽弦圖」的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若ac=6，bc=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的「數學風車」，則這個風車的外圍周長是
答案：76
4. （2023年杭州市模擬）側稜長為cm的直三稜柱的三個側面面積分別為、和，則該稜柱上底面的面積為 ．
答案：5. （2023年海寧市鹽官片一模）已知是直角三角形的三條邊，且，斜邊上的高為，則下列說法中正確的是只填序號）
①；②；
③由可以構成三角形；④直角三角形的面積的最大值是.
答案：②③
6．（2011北京四中一模）在數學活動課上名師帶領學生去測量河兩岸a，b兩處之間的距離，先從a處出發與ab成90°方向，向前走了10公尺到c處，在c處測得∠acb＝60°(如圖所示)，那麼a，b之間的距離約為公尺（計算結果精確到0.1公尺)
答案：17
7. （2011深圳市中考模擬五）等腰三角形的腰長為2，腰上的高為1，則它的底角等於 ．
答案: 15°或75°
三、 解答題
1、(2011浙江杭州模擬14)
如圖，直角梯形abcd中，ab∥dc，∠dab=90°，ad=2dc=4，ab=6．動點m以每秒1個單位長的速度，從點a沿線段ab向點b運動；同時點p以相同的速度，從點c沿折線c-d-a向點a運動．當點m到達點b時，兩點同時停止運動．過點m作直線l∥ad，與折線a-c-b的交點為q．點m運動的時間為t（秒）．
（1）當時，求線段的長；
（2）點m**段ab上運動時，是否可以使得以c、p、q為頂點的三角形為直角三角形，若可以，請直接寫出t的值（不需解題步驟）；若不可以，請說明理由．
（3）若△pcq的面積為y，請求y關於出t 的函式關係式及自變數的取值範圍；
答案：解：（1）由rt△aqm∽rt△cad2分
∴． 即1分
（2）或或43分
（3）當0＜t＜2時，點p**段cd上，設直線l交cd於點e
由（1）可得． 即qm=2t．∴qe=4-2t2分
∴s△pqc =pc·qe1分
即當＞2時，過點c作cf⊥ab交ab於點f，交pq於點h.
．由題意得，．
∴ 四邊形amqp為矩形．
∴ pq∥．ch⊥pq，hf=ap=6- t
∴ ch=ad=hf= t-21分
∴s△pqc =pq·ch1分
即y=綜上所述或y= ( 2<<6) …………………1分
2、(2011浙江杭州模擬16)
數形結合作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助於數的精確性來闡明形的某些屬性，即 「以數解形」；或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關係，即 「以形助數
如浙教版九上課本第109頁作業題第2題：如圖1，已知在△abc中，∠acb=900，cd⊥ab，d為垂足。易證得兩個結論：
(1)ac·bc = ab·cd (2)ac2= ad·ab
（1）請你用數形結合的「以數解形」思想來解：如圖2，已知在△abc中（ac>bc），∠acb=900，cd⊥ab，d為垂足， cm平分∠acb,且bc、ac是方程x2-14x+48=0的兩個根，求ad、md的長。
（2）請你用數形結合的「以形助數」思想來解： 設a、b、c、d都是正數，滿足a：b=c：
d,且a最大。求證：a+d>b+c（提示：
不訪設ab=a,cd=d,ac=b,bc=c，構造圖1）
答案：解：（1）顯然，方程x2-14x+48=0的兩根為6和8， 1分
又ac>bc
∴ac=8，bc=6
由勾股定理ab=10
△acd∽△abc，得ac2= ad·ab
∴ad=6.42分
∵cm平分∠acb
∴am：mb=ac：cb
解得，am1分
∴md=ad-am1分
（2）解：不訪設ab=a,cd=d,ac=b,bc=c
由三角形面積公式，得ab·cd=ac·bc
2ab·cd=2ac·bc1分
又勾股定理，得ab2=ac2+bc2
∴ab2+2ab·cd =ac2+bc2+2ac·bc(等式性質)
∴ab2+2ab·cd =（ac+bc）21分
∴ab2+2ab·cd+cd2 >（ac+bc）22分
∴(ab+cd) 2 >（ac+bc）2
又ab、cd、ac、bc均大於零
∴ab+cd>ac+bc即a+d>b+c1分
3. （2023年北京四中中考全真模擬17）如圖，有兩棵樹，一棵高10公尺，另一棵高4公尺，兩樹相距8公尺. 乙隻小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行多少公尺？
1、探索勾股定理時，我們發現「用不同的方式表示同一圖形的面積」可以解決線段和
（或差）的有關問題，這種方法稱為面積法。請你運用面積法求解下列問題：在等腰三
角形abc中，ab=ac,bd為腰ac上的高。
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