2023年上海市普通高等學校春季招生統一考試
（暨上海市普通高中學業水平考試）
數學試卷
考生注意：
1．本試卷兩考合一，春季高考=學業水平考+附加題；
春季高考，共32道試題，滿分150分．考試時間120分鐘
（學業水平考，共29道試題，滿分120分．考試時間90分鐘；
其中第30-32題為附加題，滿分30分．考試時間30分鐘）．
2．本試卷分設試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須塗（選擇題）或寫（非選擇題）
在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．
3．答卷前，務必用鋼筆或原子筆在答題紙正面清楚的填寫姓名、准考證號，並將核對後的條形碼
貼在指定位置上，在答題紙反面清楚地填寫姓名．
一、填空題（本大題共有12題，滿分36分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格
填對得3分，否則一律得零分．
1．若，則
2．計算為虛數單位）．
3．、、、、這五個數的中位數是
4．若函式為奇函式，則實數
5．點到直線的距離是
6．函式的反函式為
7．已知等差數列的首項為，公差為，則該數列的前項和
8．已知，則
9．已知、。若，則的最大值是
10．在件產品中，有件次品，從中隨機取出件，則恰含件次品的概率是 （結果用數值表示）．
11．某貨船在處看燈塔在北偏東方向，它以每小時海浬的速度向正北方向航行，經過分
鐘到達處，看到燈塔在北偏東方向，此時貨船到燈塔的距離為海浬．
12．已知函式與的影象相交於、兩點.若動點滿足，
則的軌跡方程為
二、選擇題（本大題共有12題，滿分36分）每題有且只有乙個正確答案，考生應在答題紙相應編號上，
將代表答案的小方格塗黑，選對得3分，否則一律得零分．
13．兩條異面直線所成的角的範圍是（ ）
； ； ；
14．複數（為虛數單位）的共軛複數為（ ）
15．右圖是下列函式中某個函式的部分影象，則該函式是（ ）
；；；16．在的二項展開式中，項的係數為（ ）
17．下列函式中，在上為增函式的是（ ）
18．（ ）
19．設為函式的零點，則（ ）
20．若，，則下列不等式中恆成立的是（ ）
21．若兩個球的體積之比為，則它們的表面積之比為（ ）
22．已知數列是以為公比的等比數列．若，則數列是（ ）
以為公比的等比數列； 以為公比的等比數列；
以為公比的等比數列； 以為公比的等比數列
23．若點的座標為，曲線的方程為，則「」是「點在曲線上」的( )
充分非必要條件； 必要非充分條件； 充分必要條件； 既非充分又非必要條件
24．如圖，在底面半徑和高均為的圓錐中，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是
母線的中點．已知過與的平面與圓錐側面的交線是以為頂點的拋物線的一部分，
則該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離為（ ）
三、解答題（本大題共有8題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟．
25．（本題滿分7分）
已知不等式的解集為，函式的定義域為集合，求．
26．（本題滿分7分）
已知函式.若，求的最大值和最小值.
27．（本題滿分8分）
如圖，在體積為的三稜錐中，與平面垂直，，，
、分別是、的中點.求異面直線與所成的角的大小（結果用反三角函式值表示）.
28．（本題滿分13分）本題共有2個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分9分．
已知橢圓的左焦點為，上頂點為.
（1）若直線的乙個方向向量為，求實數的值；
（2）若，直線與橢圓相交於、兩點，且，求實數的值．
29．（本題滿分13分）本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分8分.
已知數列滿足，雙曲線.
（1）若，雙曲線的焦距為，，求的通項公式；
（2）如圖，在雙曲線的右支上取點，過作軸的垂線，在第一象限內交的
漸近線於點，聯結，記的面積為.若，求.
（關於數列極限的運算，還可參考如下性質：若，則）
30．（本題滿分8分）
已知直角三角形的兩直角邊、的邊長分別為，如圖，過邊的等分點
作邊的垂線，過邊的等分點和頂點作直線，記與的交點為．
是否存在一條圓錐曲線，對任意的正整數，點都在這條曲線上？說明理由．
31．（本題滿分8分）
某人造衛星在地球赤道平面繞地球飛行，甲、乙兩個監測點分別位於赤道上東經131和147，在某時刻
測得甲監測點到衛星的距離為1537.45千公尺，乙監測點到衛星的距離為887.64千公尺。假設地球赤道是乙個半徑
為6378千公尺的圓，求此時衛星所在位置的高度（結果精確到0.01千公尺）和經度（結果精確到0.01）．
32．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分10分.
如果存在非零常數，對於函式定義域上的任意，都有成立，
那麼稱函式為「函式」.
（1）求證：若是單調函式，則它是「函式」；
（2）若函式時「函式」，求實數滿足的條件．
參***
一、填空題（第1題至第12題）
1、2 2、 3、2 4、0 5、 6、
7、 8、 9、 10、 11、 12、
二、選擇題（第13題至第24題）
13、b 14、a 151617、d 18、c
19、c 20、d 212223、c 24、d
三、解答題（第25題至第29題）
25、解：的解集是；由，即；因此，．
26、解：由，得，，
因為當時，單調遞減；當時，單調遞增；
由於，所以當時，，．
27、解：由得，
因為，所以異面直線與所成的角為，
由直角三角形，則，異面直線ef與pc所成角為．
28、解：（1）易知，所以
又因為是直線的乙個方向向量，所以，因為，所以．
（2）由，知，聯立．
設，則 ，
解得或，又因為，故．
29、（1）由題意， 則；兩式相減得：
所以是以1為首項，4為公差的等差數列，得；
是以2為首項，4為公差的等差數列，得；
所以（2）由題意，則，所以
雙曲線的漸近線，所以
，所以所以=．
30、解：以a為座標原點，ac方向為軸，過a作的垂線為軸建立直角座標系；
則，，； ：，：；
存在滿足條件的圓錐曲線（拋物線）．
31、解：如圖，建立赤道截面平面圖，其中為球心，分別為甲、乙監測點，為衛星所在位置，
為衛星在地赤道上的投影（由於題目中未說明的位置，且，故有以下三種情況）．
易得，，，
在中，；
在中，最大，即、都是銳角，所以選擇第三張圖；
；在中，；
，即衛星高度為；
又在中，；
即衛星位於赤道上東經．
32、解：
（1）[證明]
① 當函式是單調遞增函式時，則對任意恆成立；
存在非零常數，使得對任意都有成立；
是「函式」；
② 當函式是單調遞減函式時，則對任意恆成立；
存在非零常數，使得對任意都有成立；
是「函式」；
（2）由題意，若函式是「函式」，則存在非零常數，對於定義域上的任意，
都有恆成立，即；
化簡後，得恆成立；
則化簡後，得或
只需滿足條件．
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2023年上海市春季高考數學試卷
2013年上海市普通高等學校春季招生考試 數學試卷 一.填空題 本大題滿分36分 本大題共有12題，要求直接填寫結果，每題填對得3分，否則一律得0分 1 函式的定義域是 2 方程的解是 3 拋物線的準線方程是 4 函式的最小正週期是 5 已知向量，若，則實數 6 函式的最大值是 7 複數 是虛數單位...
2019上海春季高考優秀作文
根據以下材料，選取乙個角度，自擬題目，寫一篇不少於的文章。兩個人在山里看到一片材質優良的樹林，於是各自買了一探樹苗帶回家，一人把樹苗植在瓦盆中，用鐵絲左纏右繞，改變其生長形態，樹長得虯枝旁逸，成為盆景中的精品。一人把樹苗栽在庭院裡，澆水施肥，任其自由生長，樹長得參天蔽日，成為建築的棟樑。例文 生命就...