數學建模一周**
課程設計題目：最大工作效率的分工
姓名1： 何婷學號： 201420120213
姓名2： 黃靜怡學號： 201420120205
姓名3： 尹衍輝學號： 201320120218
專業測控技術與儀器
班級 1421202
指導教師朱琳
2016 年 01月 07 日
摘要工作效率，一般指工作投入與產出之比，通俗地講就是在進行某任務時，取得的成績與所用時間、精力、金錢等的比值。對乙個公司來說，知人善任，尋求最佳工作分配方法，以發揮員工的最大價值，使得工作效率達到最大才能給公司帶來最大的經濟效益。求最大工作效率的問題歸屬於指派問題一類，以下問題中求六人的最大總工作效率正是通過建立指派問題的數學模型以尋求六人的最佳分配方案來求解。
首先定義i為第一到第六個人的變數，定義j為第一到第六項工作的變數，然後通過整數線性規劃確認每個人是否做每項工作，由此建立0-1模型。最後確立求解最大總工作效率的函式。用lingo軟體對此函式模型進行程式設計求解。
此模型是未考慮某些相關因素的條件下建立的相對理想化模型，但這些因素對解決本文中問題影響不大，因此可忽略不計。
關鍵詞：工作效率； 指派問題； 0-1模型 ；整數線性規劃；相對理想；最佳分配方案。
一、問題的重述
本問題中已知有6個人（1，2，3，4，5，6），可以做6項工作（a,b,c,d,e,f），每個人做每項工作的效率如下表所示。
問：應如何安培每個人的工作，使總工作效率最大？
1二、模型的假設
4.假設所有人做所有工作沒有時間限制。
四、模型的建立與求解
問題一1.1. 問題分析
指派問題的標準形式如下。有n個人n項任務，第i個人做第j件事的效率為要求確定人與事之間的一一指派方案，使得這n項任務的效益最高。
此類問題是線性規劃模型，也是整數規劃模型；0—1規劃模型。共有6*6個變數，實際上只需要找6個變數為1即可，因此這是高度退化的線性規劃模型。
我們需要在所有的指派方案中選擇工作效率最大的方案。根據以上分析我們可以建立基礎模型，並根據題目要求建立目標函式和約束條件。
1.2.模型的建立
以六件工作完成總效率作為目標函式，以假設1（每個人最多完成一項工作），和假設2（一項工作只能由乙個人做）為約束條件，最後對目標函式求最優解得出最終結果。
2因此，約束條件1.為：
約束條件2.為
1.3.模型的求解
根據目標函式及其約束條件可知，該模型為0-1整體線性規劃模型。因此，利用lingo軟體編寫程式對此問題求解。（程式見附錄）
可解得：
variablevalue reduced cost
t 0.1666667e+30 0.000000
c( 1, 2) 5.0000000.000000
c( 2, 1) 6.0000000.000000
c( 3, 3) 2.0000000.000000
c( 4, 4) 3.0000000.000000
c( 5, 5) 4.0000000.000000
c( 6, 6) 6.0000000.000000
x( 1, 2) 1.0000000.000000
x( 2, 1) 1.0000000.000000
x( 3, 3) 1.0000000.000000
x( 4, 4) 1.0000000.000000
x( 5, 5) 1.0000000.000000
x( 6, 6) 1.0000000.000000
3 綜合以上所述：應該安排工人1做工作b，效率為5；安排工人2做工作a，效率為6；安排工人3做工作c，效率為2；安排工人4做工作d，效率為3；安排工人5做工作e，效率為4；安排工人6做工作f，效率為6；即工作的最大效率為26。
1.4.模型檢驗
由於每個人最多做一件工作，且每件工作只由一位工人完成，可知上述答案滿足題目要求。
五、模型的誤差分析
本文建立的模型是忽略了很多其他實際因素的情況下建立的相對理想化模型。而在實際應用中不可避免的會因一些未考慮到的因素而出現誤差。例如：
有人因自身身體狀況而導致做某項工作的效率下降；自然災害導致工作程序的停滯；有人提前完成自己的工作等等。考慮到這些誤差因素的發生並不具有常見性，因此這些誤差都是模型建立條件範圍內允許存在的
六、模型的評價
模型中僅僅建立第i人是否做第j項工作與第i人做第j項工作的效率之間的函式並求其最大值，簡單明瞭。其次最開始的模型建立考慮到了很多其他因素，通過確立模型的應用條件提高了模型的可信度。最後就本模型的功能來看，通過本模型可以快速求出使得總工作效率最大的最佳人員分配方案。
按照模型結果進行工作安排可使得公司的生產效率達到最大，給公司創造最大的經濟利益，具有很好的實用價值。
就模型的應用前提來說，模型的應用範圍較窄，並且在運用此模型解決實際問題的過程中可能遇到很多不確定因素影響模型結果的準確性。
雖然該模型具有一定的限制條件，但該模型對於本文中問題的解決具有很好的可行性。
4 該模型為此問題提供了乙個求解最大工作效率的最佳人員分配方案，同理也可推廣到其他指派問題的求解中，如求解最短時間的人員分配僅需將每個人做每項工作的時間代替效率，並求解函式模型的最小值即可。考慮到此模型有一定的應用條件限制，而此模型只是理想情況下的求解，因此，在模型改進方面可以通過增加關於條件限制的函式進行求解，最終可使得求解結果可信度更高。
八、參考文獻
[1] 作者：王澤文，樂勵華等；書名《數學實驗與數學建模案例》；出版地：北京；出版社：高等教育出版社；出版年：2023年。
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