第２６卷第２期
鄭州輕工業學院學報（自然科學版）
２０１１年４月
文章編號一ｏ４
一類隨機利率下的變額壽險模型
李昕（鄭州輕工業學院數學與資訊科學系，河南鄭州４５０００２）
摘要：以反射布朗運動和泊松分布為基礎，建立了乙個半連續時間情形下的隨機利率的模型．在此模
型下對壽險理論中的純保費、年金和責任準備金進行研究，不僅可以保證利率的恆正性，還可以通過
引數調節有效地控制利率隨機波動的幅度，從而在一定程度上降低利率風險的影響．
關鍵詞：隨機利率；反射布朗運動；泊松分布；變額壽險；精算現值中圖分類號：ｏ２１１．６
文獻標誌碼ｍ
ｕ ｘｉｎ
０ 引言
在傳統的精算理論中，壽險模型都是建立在固定利率基礎上的．由於壽險是一種長期性的經濟行
二階矩；ｄ．ｐｅｒｒｙ 將隨機利率採用反射布朗運動建模，得到了確定年金的期望值公式；郎豔懷等
給出了利率隨機性刻畫下的一種綜合壽險精算模型．然而，上述模型中的保費均假定是固定繳納的，利息力積累函式也多是基於一種過程．
鑑於此，本文擬採用反射布朗運動與泊松過程聯合的方法對利息力積累函式進行建模，給出乙個半連續型的變額壽險模型，使其更符合現實情況，且有較強的實用性和可操作性．
為，保險期間的政策變化、經濟波動等因素都會造成利率的不確定性，因此，隨機利率下的壽險精算
理論與方法在近年是乙個研究熱點．其中，對於隨機利率下的壽險精算模型的研究較為廣泛，並取得了一些成果等¨ 得到了利息力由０一ｕ過程和ｗｉｅｎｅｒ過程建模的某些年金現值的前
收稿日期
作者簡介：李昕（１９８１一），女，河南省鄭州市人，鄭州輕工業學院助教，碩士，主要研究方向為不確定資訊處理與模糊
數學．１２２鄭州輕工業學院學報（自然科學版）２０１１芷
１隨機利率模型
１．１預備知識
２．１兩個引理
引理１一 （）］
半連續的ｎ年期變額壽險，即保險金的取得為連續型，保險期限是ｎ年，如果保險人在第ｎ年末生
其 ㈩＝去ｅ－
證明由於ｉｗ（ｔ）ｉ為在原點反射的布朗運動，
存，保險公司不需要支付保險金；如果保險人在保險期內死亡，則保險公司立即支付保險金，這裡投所以可以得到其分布函式為
保額是時間ｔ的函式，記為ｃ（ｔ）．投保人的繳費方式為離散型，採用期初繳納生存年金的方式．假定（）表示年齡為歲的投保人；ｔ（ｘ）表示（）的剩餘
壽命；表示（）在ｔ年內生存的概率；表示死力，即活到歲時後一瞬間的死亡概率；…表示投
保人年齡為 ＋ｔ時的死亡力．則剩餘壽命ｔ（）的
概率密度函式可記為 （）＝ｐ，ｌｘ川．
１．２模型的建立
設利息力累積函式 （ｔ）滿足
（）：ｓｔ＋盧ｉｗ（）ｉ＋（ｔ）
其中，６為無風險利率；１ｗ（ｔ）ｉ為在原點反射的布朗
運動服從引數為ａ的泊松分布，且
二者相互獨立；』ｂ，ｙ≥０，為與ｔ無關的常數；為無
風險利率．則貼現函式為
年定期保險又稱為ｎ年期死亡保險，指保險公司只對投保人在保險期限內發生的保險責任範
圍內的死亡給付保險金．因此對年齡為歲的投保
人，假設在死亡時立即給付保險金為ｃ（ｔ），那麼給付函式可表示為
，＝投保額為ｃ（ｔ）的ｎ年變額壽險的給付現值函式為
ｚ（…）
）ｖ（＝一、
ｆｃ（一
）０≤￡≤１』。１，ｌ
ｎｔ＞ｎ
２保費與生存年金的計算
人壽保險的均衡純保費是以預定年利率和預
定死亡率為基礎，並根據未來給付保險金額計算得到的，它的基本條件是依據平衡原理，即未來給付保險金額現值的期望值等於繳納純保費的精算現
值．本文討論的是半連續式壽險模型的均衡純保費，它要求保險費按期初支付生存年金的方式繳
納，且死亡保險金在被保險人死亡時立即給付．
一ｐ（（ｔ）≤一一１＝
去ｌｅ則ｉｗ（ｔ）ｌ的密度函式為
ｆｆｗ（ｔ）ｉ∽＝等 ＝２一魯
０≤ｙ≤－ｉ－∞
於是有（ｅ刪川）：廣ｅ刪 ）＝ｆ．
』ｊ者／２ｆｄｙ：ｏ＝
２－２ｅ
］其 ㈩＝去ｅ
引理２設有ｐｏｉｓｓｏｎ過程引數為ａ，則有
一一證明
＝ｋ ０
＝兒 ：
ｅａｔｅ－ｙ
ｋ主ｅ＝ｅ－ａｔ￣＝０
２．２保費的精算現值
本文考慮保險期限為年的定期壽險，即（）自投保之日起的ｎ年內死亡，保險公司需在被保險
人死亡之時即刻給付保額，用
表示保額精算現
值，則有
ａ＇ｘ周山）＝
ｆｃ（ｔ）ｅ（ｅ一一），ｐ，ｔｚ＋ｄｔ
將引理１，引理２代人上式，有：：
２ｆｃ（￡）ｅ－一ｅｚ１２『［１一（盧 ）］．
第２期李昕：一類隨機利率下的變額壽險模型
１２３ｔ
ｐｄｚ ＋ｌｄｔ
２．３生存年金現值
生存年金是指在已知某人生存的條件下，按預先約定的金額以連續方式或以一定的週期進行一
系列給付的保險，且每次年金給付必須以年金受領人生存為條件．一旦年金受領人死亡，給付立即停止．生存年金的精算現值是依賴於剩餘壽命確定年金的數學期望值．
設ｙ為連續ｎ年給付額為１的定期生存年金的
現值隨機變數，這一生存年金的精算現值用 …表示，則有
五ｎ一１
ｎ一１．
＋１∑屍ｌ＝０。
ｉ噸ｅ［ｅ一＆一］ｄｓ＝
芝屍～．２ｅ￣２２１一∥（盧）］．一 ｄ
３均衡純保費和責任準備金
３．１ 半連續式模型的均衡純保費
人壽保險的均衡純保費是以預定年利率和預
定死亡率為基礎，並根據未來的給付保險金額計算
得到的．本文討論的是半連續式壽險模型的均衡純保費，它要求保險費按期初付生存年金的方式繳納，且死亡保險金在被保險人死亡時立即給付．假設用ｐ（ａ ）表示均衡純保費，根據未來給付保險金額的期望值等於繳納純保費的精算現值這一平衡原理，有
＿１一ｐ（ａ罷
．廣ｃ（！如２［１一（）＿１］出
∑∑ｎ－１ｐ，
ｔ＋１ｅ－＆．．
ｘ一 （［一 （盧 ）］．盧 ）］．ｅａ
特別地，對於定額壽險，ｃ（ｔ）＝１，假設死力服
從ｄｅ—ｍｏｉｖｒｅ形式 ｊ，即＝—ｌ＿，這裡為極限壽∞一
命，則＝ｅ一＝
所以１ｔｐｘｌｚ—ｔ
令ｒｏ＝ｅ一一１，則有ｎ１
＝ｅ一：［１
）］ｅａｒｏｔ劬１
ｅ等＝去ｅｕｅ（＋
去等ｄｒｅ（ｒ０）ｆ
４（∞一 ）（一２８＋２ａｒｏ）
［（、／＿二麗）一 （０）］一
［∥（盧）一 （０）］＋［１一 （盧）］．
４（一 ）（一２８＋２ａｒｏ）
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所以鄭州輕工業學院學報（自然科學版）２０１１年
４ｔ．￣
．ｆｘ：ｎｉ旦
『［（√ （一一∥（，／２（８一ａｒ０）ｔ）］＋
［１一 （屆一
［１一（
３．２責任準備金
在壽險業務中，通常情況下前期保費收人大於
保險給付，而後期的保費收入小於保險給付．因此，
保險公司需要把前期多餘的保費收入儲存起來，以
彌補後期不足．這種為將來的給付而提取的**就
稱為責任準備金
．責任準備金的計算原理是未
來保險利益在結算日的現值減去未繳保費在結算日的現值，根據這一原理，設ｔ。＞１０為整數，則ｔ。年時保險公司的未來損失為。一五
：一 。
責任準備金為
幻＝ｅ（ｌ）＝
一『』一ｐ（ａ ）五
：一 。
）：齧－盧
國「）＋ｌ０ｄｔ
４結論由以上計算過程可以看到，壽險的純保費和責任準備金主要由被保險人的年齡、保險種類、保險金額、死亡率和利率等因素決定．一般情況下，被保險人的年齡、保險種類、保險金額在被保險人投保
時已經確定，死亡率採用的是生命表所提供的死亡
率水平，並且這一死亡率水平通常在一定時期內相
對穩定，影響壽險純保費和責任準備金的主要因素
就是利率，因此分析利率變化對壽險純保費的計算和責任準備金提留的影響有很強的實用價值．
考慮到隨機利率的影響，根據雙隨機性，利用在原點反射的布朗運動和泊松分布聯合建立利息力積累模型，具有更廣泛的使用範圍，結論也更具一
般性．原點反射的布朗運動和泊松分布的引入，
不僅可以保證利率的恆正性，而且還可以通過調節引數有效地控制利率隨機波動的幅度，在一定程度上可以有效降低利率風險的影響．如當 ＝０且
＝０時，ｒ（ｆ）＝６ｔ即為常數利率情況；當凡－＋∞時即
為終身壽險的情況；而文中的ｇ（ｔ）未給出具體的形
式，一般情況下ｃ（）伴隨ｔ的變化而發生不規律變
化，故稱其對應壽險模型為變額壽險，實際應用中ｃ（￡）所取的形式不同，所表示的壽險模型亦不同．參考文獻：
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