第24卷第6期赤峰學院學報（自然科學版）2023年11月journalofchifenguniversity（naturalscienceedition）
vol.24no.6
nov.2008
解一類最優控制問題的勒讓德伽略金譜方法
夏念時（集美大學誠毅學院，福建廈門361021）
要：本文建立了一種求解無約束型橢圓最優控制問題的勒讓德伽略金高效演算法.首先通過適當地選取基函式,使離散
方程組的矩陣稀疏,利用向前勒讓德變換和向後勒讓德變換可提高演算法的效率,再通過兩個數值實驗分別對一維橢圓問題和
二維橢圓問題驗證它們的誤差估計,最後得出數值結論.
關鍵詞：最優控制；勒讓德伽略金；譜方法
中圖分類號：o241.8文獻標識碼：a文章編號：1673-260x（2008）06a-0001-03摘
2，3]2
譜方法[1，採用整體多項式作為偏微分方程離散形式a(v,v)||||v
的試探函式.它能用相對少的未知數來進行非常精確的估令b:ulv*為一線性連續運算元,其伴隨運算元為b*.
計.因此在過去的2個世紀中發展非常迅速和普遍，尤其是現在我們考慮以下最優控制問題:在計算流體動力學領域中（見[4]和相關著作）.
2（p）minj(y,u)=1||y-yd||u2+1||u||u
22根據變分形式中檢驗函式的不同選取,譜方法可分為伽
(se)a(y,)=v略金譜方法,tau方法和配點法.伽略金和配點法通常能得
(3)到最優誤差估計，而tau方法(實質是一種變形了的伽略金方法)會導致非對稱變分形式且僅能得到次最優誤差估計(例見[5]和[6]).
需要特別指出由patera和他的團隊提出的譜有限元方法實際上是一種譜伽略金方法(見研究**[7]).最近,文獻[8]進一步將切比雪夫譜方法和勒讓德譜方法相結合提出按勒讓德方法建立總的格式,用切比雪夫譜逼近處理非線性項,充分發揮勒讓德譜方法穩定性好,切比雪夫譜方法計算量小的優點,取得了一定的成功.
然而,在一簡單區域內,譜有限元方法與本文所提的伽略金方法在以下兩個方面不同:
1)我們使用高斯積分而不是精確積分.
2)用拉格朗日插值基而不是伽略金多項式簡單組合基.
一類分布式控制問題的勒讓德伽略金逼近令
n為r（n3）中的有界開集,其邊界為
m,q1.1問題(p)的最優性條件
我們引入伴隨狀態pv,則伴隨狀態方程為:(ae)+b*p=0
a(p,v)=(y-yd,v)u
v(4)
我們考慮其中的無約束狀態情形,有
(p)的最優性條件包含(se),(ae)和(4).
接下來引入空間v=h01(),h=u=l2(),v*=h-1()以及雙線性形式
a:vvr定義為：a(u,v)dxv
(6)(6)的變分形式為:尋找yv使得a(y,v)=1.2
伽略金離散
即用譜方法構造它的伽略金有限元空間.令
rn,n2為凸多面開集且v,h,u為
上通常函
數空間.xn為定義在
上的次數小於或等於n的多項式空
v(7)
，在本文
m,qw
中採用標準記號w（）為
()上的空間,其中範數為||.||
,半模為|.|hm,q().
令w0m,q()=,記wm,2()(w0m,2())為
間,其中n1為一整數.
引入有限維空間vn=xnv,hn=xnh,un=xnu，這意味著xn加入了相應的邊值條件.
投影(插值)運算元：
nhm()(h0m())且c和m為與n無關的一般正常數.
簡單的泛函框架在hilbert空間h,u和實內積空間（或甚至hilbert空間）v給定.v*為v的對偶空間,用直觀的方式表示範數.我們假設v
我們同樣假設：
||||h||||v
記<.,.>為v*和v的對偶性.
令a:vvr為一雙線性,對稱,連續且v-橢圓型,則存在常數m,0,使得
|a(u,v)m||||v||||v
u,vv
(2)v
(1)h,包含為稠密,緊的.
:vvn：unvnu
n狀態（se）的伽略金逼近格式為:(sen)
a(yn,n)=費用函式為：jn(yn,un)=1||yn-2
2ndh
y||+1||un||u2
2minjn(yn,un)
(8)引入最優控制問題:(pn)
其中unun和ynvn滿足狀態方程(sen).證明因lk(1)=(1)k,則k(x)vn,k=0,1,,n-2.另一令pnvn為滿足伴隨狀態方程的伴隨狀態,即:
方面,顯然k(x)為線性無關的,且維數(vn)=n-1,因此注意到:
a(pn,vn)=(yn-nyd,vn),vnajk=('k(x),j(x))=-("k(x),j(x))=(k(x),"j(x))同樣有以下最優性條件：
由(11)和(13)易得結論.
un+b*pn=0(9)注意:類似基函式也可由切比雪夫或雅各比多項式來構
問題(pn)的最優性必要條件為(sen),(aen)和(9)造,但是否能得到高效演算法還需要更多研究,因他們的正交則(pn)的勒讓德伽略金逼近格式為：關係中存在非協調權.
(yn,wn)+(pn,wn)=(nf,wn)vn顯然,當d=1,方程組(10)等價於
(10)
(qn,pn)+(yn,qn)=(-ny0,qn)vn(y'n,'k(x))+(pn,k(x))=(nf,k(x))其中fl2(),vn=h01().(p'n,'k(x))+(yn,k(x))=(-根據[5]中定理6.4，6.
5，6.6，我們有：記
*其中[u*,y*]和[un*,yn]分別為(p)和(pn)的最優性序對.
n0y,k(x)),k=0,1,,n-2
y,k)t
||u*-un*||=o(n1-m),||y*-yn*||=o(n1-m),|j(y*,u*)-jn(yn*,un*)|=o(n1-m).fk=(nf,k)t,gk=(-
n0f=(f0,f1,,fn-2)t,g=(g0,g1,,gn-2)t
n-2n
yn=vnn(x),v=(v0,v1,,vn-2)t1時，則對任意vh(),v可由以下定義0nk=0
n-2vpn0()
tun=),=(0,1,,n-2)(15)n(x
0k=0
(v-)'n(x)dx=0pn()nv
b=(bkj)0k,jsn-2
可擴充套件為n2的情形，如對n=2,變數x=(x1,x2)：
則此時該方程組等價於以下方程組:
pn()=span
ibvf
1=(16)其中k=ck(lk(x)-lk+2(x)),ck=,ln(x)度數為n的多
-big
4k+6
因當kj和kj+2時,bkj=0.我們請注意到可被分解為項式.
兩個三對角子矩陣.一維情形數值實驗
我們來解釋投影運算元
n的構造：如當n=1，=(-1,1)
小結:給定f和y0在legendre-gauss-lobatto點0jn現在最關鍵的問題是選擇一組合適的基使得這個線性
上的值,就可以決定在這些點上的值,步驟如下:系統盡量簡化，我們取基為k=ck(lk(x)-lk+2(x)),其中ck=
①(預計算)計算legendre-gauss-lobatto點.1
.②從i=0n計算nf(x)的系數值,並求出f;從i=0n4k+6
令vn=soan,我們首先知道lk(x)滿足以下計算ny0(x)的系數值,並求出g.(向後勒讓德變換)
正交關係:③從上面的方程組中計算v,.n-2n-2
(lk(x),lj(x))=2,k,j0(11)
④計算yn(xj),vi(xj),j=0,1,,n,pn(xj)=2k+1iji(xj),j=0,1,
k=0k=0
和以下相應關係:
,n(變換了的向前勒讓德變換)
（2k+1)lk(x)=lk+1(x)-lk-1(x)(12)
⑤計算y-yn和p-pn的最大逐點誤差.
令sn=span,因為ln(x)度數為n的多項
例對於解以下問題:
式,則minln(x)sn-2
22更精確地使得
n-2ln(x)=
k(k+1)[n(n+1)-k(k+1)]lk(x))
2=0(13)
-y=f+uin=(-1,1)
y|=0
表1列出了p-pn的最大逐點誤差和y-yn的最大逐點誤差:
其中p=sin(x),f=(1+4)p,y0=10-13,y=y0+2p
二維橢圓情形顯然
vn=span
以下引理為我們演算法有效性的關鍵:
引理ckcj(2+2),
2j+12j+5
,bjk=bkj=-ckcj
0,表1
4--0.10210.5143
1.3204-0051.1707-0042
2k+1
k=j;k=j+2;其它.
ajk=('k,'j)=
1,0,
k=jkj
p-pn和y-yn最大逐點誤差
16.3703-0146.212-013
324.4602-0141.022-013
644.5113-0141.0637-013
記n-2
n-2but+ut+bzt=etf=(f')t
vkjk(x)j(y),pn=
k=0kjk
yn=k=0
(x)j(y),fkj=(f,k(x)j(y))
-but+bzt+zt=etg=(g')t
令vp=(vp0,vp1,,vp,n-2)t,zp=(zp0,zp1,,zp,n-2)t,p=0,1,,n-2,則以上方程組的第p列可寫為
令v=(vkj)k,j=0,1,,n-2,f=(fkj)k,j=0,1,,n-2,w=(kj)k,j=0,1,,n-2
設wn,qn=l(x)
mb+pi-p
pivpzp
(y),l,m=0,1,,n-2則最優化條件方程組
bb+pi
=f'pg'p
等價為以下矩陣方程組:
vb+bv+bwb=f-bvb+wb+bw=g
譜方法領域內稱為矩陣對角化方法(參見[10]).然後令構成的正交矩陣(因b為對稱的),也就是說ebe=.
現令v=eu,w+ez,則方程組變為:
eub+beu+bezb=f-beub+ezb+bez=g
兩邊分別乘以et,我們有:tt
其中f'p=(f'p0,f'p1,,f'p,n-2)t,
(17)
演算法：g'p=(g'p0,g'p1,,g'p,n-2)t,
①計算特徵值與特徵向量e.②計算③得uz④v=eu,w=ez⑤計算得yn,pn.例min
f'=ftf,
g'=etg
為該方程組可由[9]中介紹的矩陣分解方法求解,該方法在為b的特徵值所構成的對角矩陣,e為b的特徵向量所
2ub+u+zb=ef=f'-y=f+uin=（-1，1）
-ub+zb+z=etg=g'y|=0兩邊轉置,有:表2列出p-pn和y-yn的最大逐點誤差:
表2p-pn和y-yn最大逐點誤差
41632
-0.015.01-0061.052-003.4100-00
-0.51.00-005
26.466-0065.326-00
其中p=sin(x)sin(y),f=(1+44)p,y0=10-13,y=y0+2
forevolutionaryproblems,,1994,
因b可分解為兩個對稱三對角子矩陣,b的特徵值和特徵向量經o(n2)次運算易得,在步②中包含求解n-1個2ekj=0,此時整個矩陣乘積運算的工作量可減少一半.因而,第
(n-1)次三對角系統.由b的結構,容易知當為k+j為偶數時,一步和第三步總共花費算術次運算，對任意的右端項,系統
可經大約2n3次運算求解.值得注意的是,用以上描述的勒spectralmethodsinfluiddynamics,springer-verlag,讓德伽略金方法求解的運算量不大於legendre-tau方法的berlin,1988.
運算量.由於該程式的對稱性,預計算步的複雜性在這各方
法中比配置點法減少,而且誤差估計為最優的.thetwodimensionalstokesproblem,
另外該演算法的瓶頸之處在於第一步和第三步中的矩陣乘積,而它可進行高效並行且它的複雜度在p個並行機下可提公升至o(nd+1/p).
結論與展望
在本文中,我們討論一種對稱化方法來構造勒讓德伽略金方法的合適的基,並將其運用於橢圓型最優控制問題.得到一在d維區域(d=1或2),有(n-1)d個未知數時,複雜度為乙個較小的數乘nd次運算的求解器而且該演算法可高效並行.考慮到方法的收斂率,知該演算法對文中討論的問題是非常適用的.
它比chebyshev-tau,配置點法和譜元素法更有競爭力.參考文獻
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