第8章第5節
一、選擇題
1．乙個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為π，則球的表面積為( )
a．8π b．8π c．4π d．4π
[答案] b
[解析] 球的半徑r＝＝，
∴s＝4πr2＝8π故選b.
2．已知乙個空間幾何體的三檢視及其尺寸如圖所示，則該空間幾何體的體積是( )
a. b. c．14 d．7
[分析] 根據三檢視還原出空間幾何體，按照體積計算公式進行計算．
[答案] a
[解析] 這個空間幾何體是乙個一條側稜垂直於底面的四稜臺，這個四稜臺的高是2，上底面是邊長為1的正方形、下底面是邊長為2的正方形，故其體積v＝×(12＋＋22)×2＝.
3．設矩形的邊長分別為a，b(a＞b)，將其按兩種方式捲成高為a和b的圓柱筒，以其為側面的圓柱的體積分別為va和vb，則( )
a．va＞vbb．va＜vb
c．va＝vbd．va和vb的大小不確定
[答案] b
[解析] 由題意，vb＝π()2b＝a2b，va＝π()2a＝b2a，因為a＞b，所以va＜vb.
4．(2010·新課標文)設長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點都在乙個球面上，則該球的表面積為( )
a．3πa2b．6πa2
c．12πa2d．24πa2
[答案] b
[解析] 本題考查了長方體的外接球的表面積的演算法，此題是簡單題，在解決問題時首先考慮借助長方體和球的關係求得球的半徑．
由題可知，長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點在同乙個球面上，所以球的直徑等於長方體的體對角線的長度，故2r＝，解得r＝a，所以球的表面積s＝4πr2＝6πa2，故選b.
5．已知三稜錐o—abc中，oa、ob、oc兩兩垂直，oc＝1，oa＝x，ob＝y，若x＋y＝4，則三稜錐體積的最大值是( )
ab.c．1d.
[答案] b
[解析] 由條件可知v三稜錐o—abc＝oa·ob·oc＝xy≤()2＝，當x＝y＝2時，取得最大值.
6．某幾何體的三檢視如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為( )
a．(16＋π)cm3b．(16＋3π)cm3
c．(20＋4π)cm3d．(18＋π)cm3
[分析] 本題考查三檢視、長方體和圓柱體的體積計算，解題的關鍵是根據三檢視想象出幾何體的直觀圖，再利用體積公式進行求解．
[答案] b
[解析] 由三檢視知，該幾何體的上部分是正四稜柱，下部分是圓柱．正四稜柱的底面邊長為4cm，高為1cm，其體積為16cm3；圓柱的底面半徑為1cm，高為3cm，其體積為3πcm3.所以該幾何體的體積為(16＋3π)cm3.
7．若圓錐軸截面的頂角θ滿足<θ<，則其側面展開圖中心角α滿足( )
a. <αc. <α[答案] d
[解析] ∵θ∈ ∴∈，
∴sinθ∈.
又＝sinθ∈，
∴其側面展開圖中心角α＝·2π∈(π，π)．
8．(2010·全國卷ⅰ理)已知在半徑為2的球面上有a、b、c、d四點，若ab＝cd＝2.則四面體abcd的體積的最大值為( )
abc．2d.
[答案] b
[解析] 過cd作平面pcd，使ab⊥平面pcd，交ab於p，設點p到cd的距離為h，則有v四面體abcd＝×2××2×h＝h，當直徑通過ab與cd的中點時，hmax＝2＝2，故vmax＝.
二、填空題
9．(2010·天津理)乙個幾何體的三檢視如圖所示，則這個幾何體的體積為________．
[答案]
[解析] 由三檢視知，該幾何體由乙個高為1，底面邊長為2的正四稜錐和乙個高為2，底面邊長為1的正四稜柱組成，則體積為2×2×1×＋1×1×2＝.
10．(2011·廣東廣州)將圓心角為，面積為3π的扇形，作為圓錐的側面，則圓錐的表面積等於
[答案] 4π
[解析] 設扇形的半徑為r，弧長為l，則有rl＝··r2＝3π，所以r＝3，l＝2π，於是圓錐的母線長為3，底面半徑為1，故表面積s＝π·1·3＋π·12＝4π.
11．(2010·湖北理)圓柱形容器內部盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)後，水恰好淹沒最上面的球(如右圖所示)，則球的半徑是________cm.
[答案] 4
[解析] 設球的半徑為r，根據題意可得8πr2＋3×πr3＝6πr3，解得r＝4.
三、解答題
12．已知球的半徑為r，在球內作乙個內接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它的側面積最大？側面積的最大值是多少？
[解析] 作軸截面如圖，令圓柱的高為h，底面半徑為r，側面積為s，
則2＋r2＝r2，即h＝2×，
∴s＝2πrh＝4πr·
＝4π≤4π＝2πr2，
當且僅當r2＝r2－r2時取等號，此時內接圓柱底面半徑為r，高為r，最大側面積等於2πr2.
13．(2010·新課標卷)如圖，已知四稜錐p－abcd的底面為等腰梯形，ab∥cd，ac⊥bd，垂足為h，ph為四稜錐的高．
(1)證明：平面pac⊥平面pbd；
(2)若ab＝，∠apb＝∠adb＝60°，求四稜錐p－abcd的體積．
[解析] 本題綜合考查立體幾何的知識，其中主要考查面面垂直的判定定理和稜錐的體積公式，在解決時要仔細審核題意，找準入手點進行解決，題目定位於中低檔題，考查處理立體幾何的常規方法．
解：(1)因為ph是四稜錐p－abcd的高，
所以ac⊥ph.又ac⊥bd，ph，bd都在平面pbd內，且ph∩bd＝h，
所以ac⊥平面pbd，
故平面pac⊥平面pbd.
(2)因為abcd為等腰梯形，ab∥cd，ac⊥bd，ab＝，
所以ha＝hb＝.
因為∠apb＝∠adb＝60°，
所以pa＝pb＝，hd＝hc＝1，
可得ph＝，
等腰梯形abcd的面積為s＝ac×bd＝2＋.
所以四稜錐的體積為v＝×(2＋)×＝.
14．已知四稜柱abcd—a1b1c1d1的側稜aa1垂直於底面，底面abcd為直角梯形，ad∥bc，ab⊥bc，ad＝aa1＝2，ab＝bc＝1，e，f分別為a1d，cd中點．
(1)求證：ef∥平面a1acc1；
(2)求證：cd⊥平面a1acc1，並求四稜錐d—a1acc1的體積．
[證明] (1)連a1c，
∵e、f分別為a1d，cd中點，
∴ef∥a1c，
又∵a1c 平面a1acc1，ef平面a1acc1∴ef∥平面a1acc1
(2)四邊形abcd為直角梯形且ad∥bc，
ab⊥bc，ad＝2，ab＝bc＝1，
∴ac＝cd＝，
∴ad2＝ac2＋cd2，
∴cd⊥ac，
又∵aa1⊥平面abcd，
cd 平面abcd，
∴cd⊥aa1，
aa1 平面a1acc1.
ac 平面a1acc1，
∴cd⊥平面a1acc1
∴cd為四稜錐d—a1acc1的高，
∴v＝sa1acc1·cd＝··2·＝.
15．如圖，側稜垂直於底面的三稜柱abc—a1b1c1的底面abc位於平行四邊形acde中，ae＝2，ac＝aa1＝4，∠e＝60°，點b**段de上．
(1)當點b在何處時，平面a1bc⊥平面a1abb1；
(2)點b**段de上運動的過程中，求三稜柱abc—a1b1c1全面積最小值．
[分析] 本題屬於立體幾何**問題，第(1)問解題思路是逆向的推理問題，從結論下手，尋求解題突破口；第(2)問解決的關鍵是將動點轉化為代數表示式，從而將問題解決．
[解析] (1)由於三稜柱abc—a1b1c1為直三稜錐，則
aa1⊥平面abc，∵bc 平面abc，∴aa1⊥bc.而aa1∩ab＝a，只需bc⊥平面a1abb1，即ab⊥bc，就有「平面a1bc⊥平面a1abb1」．
在平行四邊形acde中，
∵ae＝2，ac＝4，∠e＝60°.
過點b作bh垂直ac於h，則bh＝.
若ab⊥bc，有bh2＝ah×ch，∵ac＝4，∴ah＝1或3.
兩種情況下，b為ed的中點或與點d重合．
(2)三稜柱abc—a1b1c1全面積等於側面積與兩個底面積之和．
顯然其底面積和平面acc1a1的面積為定值，只需保證側面abb1a1和側面b1c1cb面積之和最小即可．
過點b作bf垂直ac於f，則bf＝.
令af＝x，則側面abb1a1和側面b1c1cb面積之和等於4×(ab＋bc)＝4[＋]．
其中＋表示動點(x,0)到定點(0，－)和(4，)的距離之和，當且僅當x＝2時取得最小值．
所以三稜柱的全面積的最小值為
2×＋42＋4×2
＝4＋8＋16.
[點評] 立體幾何題中求值問題多數情況下是求體積和面積問題，解題時重點關注題目中的位置關係，垂直是求值的根源．本題中的動點問題，還有存在性問題都是當前高考命題的熱點，同學們需認真把握．
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