2023年普通高等學校招生全國統一考試（福建卷）
數學（理科）
第i卷（選擇題共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 若複數滿足，則等於（ ）
a． b． c． d．
考點：複數的運算。
難度：易。
分析：本題考查的知識點為複數的計算，直接套用複數運算公式即可。
解答：。
2. 等差數列中，，則數列的公差為（ ）
a．1 b．2 c．3d．4
考點：等差數列的定義。
難度：易。
分析：本題考查的知識點為復等差數列的通項公式。
解答：。
3. 下列命題中，真命題是（ ）
ab．c．的充要條件是 d．是的充分條件
考點：邏輯。
難度：易。
分析：本題考查的知識點為復邏輯中的充要條件的判定。
解答：a中，。
b中，，。
c中，的充要條件是。
d中，可以得到，當時，不一定可以得到。
4. 乙個幾何體的三檢視形狀都相同，大小均相等，那麼這個幾何體不可以是（ ）
a．球 b．三稜錐 c．正方體 d．圓柱
考點：空間幾何體的三檢視。
難度：易。
分析：本題考查的知識點為空間幾何體的三檢視，直接畫出即可。
解答：圓的正檢視（主檢視）、側檢視（左檢視）和俯檢視均為圓；
三稜錐的正檢視（主檢視）、側檢視（左檢視）和俯檢視可以為全等的三角形；
正方體的正檢視（主檢視）、側檢視（左檢視）和俯檢視均為正方形；
圓柱的正檢視（主檢視）、側檢視（左檢視）為矩形，俯檢視為圓。
5. 下列不等式一定成立的是（ ）
ab．cd．
考點：不等式及基本不等式。
難度：中。
分析：本題考查的知識點為不等式的性質及基本不等式的性質。
解答：a中，。
b中，；。
c中，。
d中，。
6. 如圖所示，在邊長為1的正方形中任取一點，則點恰好取自陰影部分的概率為（ ）
a． b． cd．
考點：積分的計算和幾何概型。
難度：中。
分析：本題考查的知識點為公式法計算積分和面型的幾何概型。
解答：，
。 所以。
7. 設函式，則下列結論錯誤的是（ ）
a．的值域為b．是偶函式
c．不是週期函式d．不是單調函式
考點：分段函式的解析式及其影象的作法。
難度：中。
分析：本題考查的知識點為分段函式的定義，單調性、奇偶性和週期性的定義和判定。
解答：a中，由定義直接可得，的值域為。
b中，定義域為，，所以為偶函式。
c中，，所以可以找到1為的乙個週期。
d中，，所以不是單調函式。
8. 雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等於（ ）
a． b． c．3 d．5
考點：雙曲線的定義。
難度：中。
分析：本題考查的知識點為雙曲線的定義，焦點，漸近線，拋物線的定義。
解答：拋物線的焦點為。
雙曲線中，。
雙曲線漸近線方程為。
所以焦點到漸近線的距離。
9. 若直線上存在點滿足約束條件，則實數的最大值為（ ）
a． b．1 c． d．2
考點：線性規劃。
難度：中。
分析：本題考查的知識點為含參的線性規劃，需要畫出可行域的圖形，含參的直線要能畫出大致影象。
解答：可行域如下：
所以，若直線上存在點滿足約束條件，
則，即。
10. 函式在上有定義，若對任意，有，則稱在上具有性質。設在[1,3]上具有性質，現給出如下命題：
①在上的影象時連續不斷的；
②在上具有性質；
③若在處取得最大值1，則，；
④對任意，有。
其中真命題的序號是（ ）
a．①② b．①③ cd．③④
考點：演繹推理和函式。
難度：難。
分析：本題考查的知識點為函式定義的理解，說明乙個結論錯誤只需舉出反例即可，說明乙個結論正確要證明對所有的情況都成立。
解答：a中，反例：如圖所示的函式的是滿足性質的，但不是連續不斷的。
b中，反例：在上具有性質，在上不具有性質。
c中，在上，，
，所以，對於任意。
d中，。 第ⅱ卷（非選擇題共100分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題卡的相應位置。
11. 的展開式中的係數等於8，則實數2】
考點：二項式定理。
難度：易。
分析：本題考查的知識點為二項式定理的展開式，直接應用即可。
解答：中含的一項為，令，則，即。
12. 閱讀右圖所示的程式框圖，執行相應地程式，輸出的值等於
考點：演算法初步。
難度：易。
分析：本題考查的知識點為演算法中流程圖的讀法，直接根據箭頭的指向運算即可。
解答： ；；；
；結束。
13. 已知的三邊長成公比為的等比數列，則其最大角的余弦值為
考點：等比數列和餘弦定理。
難度：易。
分析：本題考查的知識點為等比數列的定義和餘弦定理的應用。
解答：設三邊為，
則可得所對的邊最大，
且。14. 數列的通項公式，前項和為，則3018】
考點：數列和三角函式的週期性。
難度：中。
分析：本題考查的知識點為三角函式的週期性和數列求和，所以先要找出週期，然後分組計算和。
解答： ，
，，，所以。
即。15. 對於實數，定義運算「」：，設，且關於的方程為恰有三個互不相等的實數根，則的取值範圍是_____。【】
考點：演繹推理和函式。
難度：難。
分析：本題考查的知識點為新定義的理解，函式與方程中根的個數。
解答：由題可得，
可得，且所以時，，
所以。三、解答題：本大題共6小題，共84分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16. （本小題滿分13分）
受轎車在保修期內維修費等因素的影響，企業產生每輛轎車的利潤與該轎車首次出現故障的時間有關，某轎車製造廠生產甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛，統計書資料如下：
將頻率視為概率，解答下列問題：
（i）從該廠生產的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現故障發生在保修期內的概率；
（ii）若該廠生產的轎車均能售出，記住生產一輛甲品牌轎車的利潤為，生產一輛乙品牌轎車的利潤為，分別求，的分布列；
（iii）該廠預計今後這兩種品牌轎車銷量相當，由於資金限制，只能生產其中一種品牌轎車，若從經濟效益的角度考慮，你認為應該產生哪種品牌的轎車？說明理由。
考點：統計概率及隨機變數。
難度：易。
分析：解答：（i）首次出現故障發生在保修期內的概率為
（ii）隨機變數的分布列為隨機變數的分布列為
（iii）(萬元)
(萬元)
所以應該生產甲品牌汽車。
17. （本小題滿分13分）
某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等於同乙個常數。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）。
（i）試從上述五個式子中選擇乙個，求出這個常數；
（ii）根據（ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，並證明你的結論。
考點：三角恒等變換。
難度：中。
分析：解答：（i）選擇（2）：
（ii）三角恒等式為：
18. （本小題滿分13分）
如圖，在長方體中，，為中點。
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）在稜上是否存在一點，使得平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由。
（ⅲ）若二面角的大小為，求的長。
考點：立體幾何。
難度：中。
分析：解答：（ⅰ）長方體中，
得：面面（ⅱ）取的中點為，中點為，連線
在中，面
此時（ⅲ）設，連線，過點作於點，連線
面，得：是二面角的平面角
在中，在矩形中，
得：19. （本小題滿分13分）
如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率。過的直線交橢圓於兩點，且的周長為8。
（ⅰ）求橢圓的方程。
（ⅱ）設動直線與橢圓有且只有乙個公共點，且與直線相交於點。試**：
在座標平面內是否存在定點，使得以為直徑的圓恆過點？若存在，求出點的座標；若不存在，說明理由。
考點：三角恒等變換。
難度：難。
分析：解答：（ⅰ）設
則的周長為
橢圓的方程為
（ⅱ）由對稱性可知設與
直線（*）（*）對恆成立， 得
20. （本小題滿分14分）
已知函式
（ⅰ）若曲線在點處的切線平行於軸，求函式的單調區間；
（ⅱ）試確定的取值範圍，使得曲線上存在唯一的點，曲線在該點處的切線與曲線只有乙個公共點。
考點：導數。
難度：難。
分析：解答：（ⅰ）
由題意得：
得：函式的單調遞增區間為，單調遞減區間為
（ⅱ）設； 則過切點的切線方程為
令；則切線與曲線只有乙個公共點只有乙個根
，且（1）當時，
得：當且僅當時，
由的任意性，不符合條件（lby lfx）
（2）當時，令
①當時，
當且僅當時，在上單調遞增
只有乙個根
②當時，
得：，又
存在兩個數使，
得：又存在使，與條件不符。
③當時，同理可證，與條件不符
從上得：當時，存在唯一的點使該點處的切線與曲線只有乙個公共點
21. 本題設有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分。如果多做，則按所做的前兩題計分。
作答時，先用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號右邊的方框圖黑，並將所選題號填入括號中。
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