2023年高考數學理試題分類彙編
數列一、選擇題
1、（2023年上海高考）已知無窮等比數列的公比為，前n項和為，且.下列條件中，使得恆成立的是（ ）
（a） （b）
（c） （d）
【答案】b
【解析】試題分析：
由題意得：對一切正整數恆成立，當時不恆成立，捨去；當時，因此選b.
考點：1.數列的極限；2.等比數列的求和.
2、（2023年全國i高考）已知等差數列前9項的和為27，，則
（a）100b）99c）98d）97
【答案】c
【解析】
試題分析：由已知，所以故選c.
考點：等差數列及其運算
3、（2023年全國iii高考）定義「規範01數列」如下：共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意，中0的個數不少於1的個數.若m=4，則不同的「規範01數列」共有
（a）18個b）16個c）14個d）12個
【答案】c
【解析】
試題分析：由題意，得必有，，則具體的排法列表如下：
考點：計數原理的應用．
4、（2023年浙江高考）如圖，點列，分別在某銳角的兩邊上，且，
，（）.
若a．是等差數列 b．是等差數列
c．是等差數列 d．是等差數列
【答案】a
【解析】表示點到對面直線的距離（設為）乘以長度一半，即，由題目中條件可知的長度為定值，那麼我們需要知道的關係式，過作垂直得到初始距離，那麼和兩個垂足構成了等腰梯形，那麼，其中為兩條線的夾角，即為定值，那麼，，作差後：，都為定值，所以為定值．故選a．
二、填空題
1、（2023年北京高考）已知為等差數列，為其前項和，若，，則_______..
【答案】6
【解析】
試題分析：∵是等差數列，∴，，，，
∴，故填：6．
考點：等差數列基本性質.
2、（2023年上海高考）無窮數列由k個不同的數組成，為的前n項和.若對任意，，則k的最大值為________.
【答案】4
【解析】試題分析：
要滿足數列中的條件，涉及最多的項的數列可以為，所以最多由4個不同的數組成.
考點：數列的項與和.
3、（2023年全國i高考）設等比數列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2an的最大值為
【答案】
【解析】由於是等比數列，設，其中是首項，是公比．
∴，解得：．
故，∴當或時，取到最小值，此時取到最大值．
所以的最大值為64．
考點：等比數列及其應用
4、（2023年浙江高考）設數列的前n項和為sn.若s2=4，an+1=2sn+1，n∈n*，則a1= ，s5= .
【答案】
三、解答題
1、（2023年北京高考） 設數列a如果對小於()的每個正整數都有 ＜ ，則稱是數列a的乙個「g時刻」.記「是數列a的所有「g時刻」組成的集合.
（1）對數列a：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素；
（2）證明：若數列a中存在使得》，則 ；
（3）證明：若數列a滿足- ≤1（n=2,3, …,n）,則的元素個數不小於 -.
【答案】（1）的元素為和；（2）詳見解析；（3）詳見解析.
如果，取，則對任何.
從而且.
又因為是中的最大元素，所以.
考點：數列、對新定義的理解.
2、（2023年山東高考）已知數列的前n項和sn=3n2+8n，是等差數列，且
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）令求數列的前n項和tn.
【解析】(ⅰ)因為數列的前項和，
所以，當時，
，又對也成立，所以．
又因為是等差數列，設公差為，則．
當時，；當時，，
解得，所以數列的通項公式為．
(ⅱ)由，
於是，兩邊同乘以２，得
，兩式相減，得
．考點：數列前n項和與第n項的關係；等差數列定義與通項公式；錯位相減法
3、（2023年上海高考）若無窮數列滿足：只要，必有，則稱具有性質.
（1）若具有性質，且，，求；
（2）若無窮數列是等差數列，無窮數列是公比為正數的等比數列，，，判斷是否具有性質，並說明理由；
（3）設是無窮數列，已知.求證：「對任意都具有性質」的充要條件為「是常數列」.
【答案】（1）．（2）不具有性質．（3）見解析．
【解析】
試題分析：（1）根據已知條件，得到，結合求解．
（2）根據的公差為，的公比為，寫出通項公式，從而可得．
通過計算，，，，即知不具有性質．
（3）從充分性、必要性兩方面加以證明，其中必要性用反證法證明．
試題解析：（1）因為，所以，，．
於是，又因為，解得．
（2）的公差為，的公比為，
所以，．
．，但，，，
所以不具有性質．
（3）[證]充分性：
當為常數列時，．
對任意給定的，只要，則由，必有．
充分性得證．
必要性：
用反證法證明．假設不是常數列，則存在，
使得，而．
下面證明存在滿足的，使得，但．
設，取，使得，則
，，故存在使得．
取，因為（），所以，
依此類推，得．
但，即．
所以不具有性質，矛盾．
必要性得證．
綜上，「對任意，都具有性質」的充要條件為「是常數列」．
考點：1.等差數列、等比數列的通項公式；2.充要條件的證明；3.反證法.
4、（2023年四川高考）已知數列的首項為1， 為數列的前n項和， ，其中q>0， .
（i）若成等差數列，求an的通項公式；
(ii)設雙曲線的離心率為 ，且 ，證明：.
【答案】（ⅰ）；（ⅱ）詳見解析.
試題解析：（ⅰ）由已知， 兩式相減得到.
又由得到，故對所有都成立.
所以，數列是首項為1，公比為q的等比數列.
從而.由成等比數列，可得，即，則，
由已知,，故 .
所以.（ⅱ）由（ⅰ）可知，.
所以雙曲線的離心率 .
由解得.
因為，所以.
於是，故.
考點：數列的通項公式、雙曲線的離心率、等比數列的求和公式.
5、（2023年天津高考）已知是各項均為正數的等差數列，公差為，對任意的是和的等比中項.
(ⅰ)設，求證：是等差數列；
(ⅱ)設 ，求證：
【解析】⑴
為定值．
∴為等差數列
⑵（*）
由已知將代入（*）式得
∴，得證
考點：等差數列、等比中項、分組求和、裂項相消求和
6、（2023年全國ii高考）為等差數列的前n項和，且記，其中表示不超過的最大整數，如．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求數列的前1 000項和．
【答案1893.
【解析】⑴設的公差為，，
∴，∴，∴．
∴，，．
⑵ 記的前項和為，則
．當時，；
當時，；
當時，；
當時，．
∴．考點：等差數列的的性質，前項和公式，對數的運算.
7、（2023年全國iii高考）已知數列的前n項和，其中．
（i）證明是等比數列，並求其通項公式；
（ii）若 ，求．
【答案】（ⅰ）；（ⅱ）．
【解析】
考點：1、數列通項與前項和為關係；2、等比數列的定義與通項及前項和為．
8、（2023年浙江高考）
設數列滿足，．
（i）證明：，；
（ii）若，，證明：，．
【試題分析】（i）先利用三角形不等式得，變形為，再用累加法可得，進而可證；（ii）由（i）可得，進而可得，再利用的任意性可證．
（ii）任取，由（i）知，對於任意，，故
．從而對於任意，均有
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