酒精濃度數學建模

數學建模**

酒精含量問題

摘要：有三種不同的喝啤酒方法：1.

瞬間喝下兩瓶啤酒。2.持續一段時間喝下兩瓶啤酒。

3.分段脈衝式喝下兩瓶啤酒。其中啤酒的酒精濃度是4%，單位時間內排出的酒精與此時體內酒精含量成正比 .

根據每種方法，求此人體內酒精含量隨時間的變化規律。

關鍵詞：瞬間、持續一段時間、分段脈衝、4%、正比

正文一. 問題重述

根據三種不同的喝啤酒方法，求出體內酒精含量隨時間變化規律。

二. 問題分析

由題意知，排出酒精的速率與當前體內酒精含量成正比，便可以排除的速率和體內含量的關係式，同時根據不同的喝酒方式，可以列出體內酒精含量變化率與時間的關係，通過代入不同的初始條件，便可以得到三個不同的函式關係式。

三. 模型假設

結合藥物在體內的分布問題，結合房室系統，建立酒精分布的單房室模型，它假設：體內藥物在任一時刻都是均勻分布的，設t時刻體內酒精的總量為x(t)；系統處於一種動態平衡中，即成立著關係式：dx/dt=dx/dt(入)-dx/dt(出)。

酒精的分解與排洩（輸出）速率通常被認為是與酒精當前的含量成正比的，即dx/dt(出)=kx.

四. 模型的建立

1. 瞬間喝下兩瓶啤酒

在瞬間喝下兩瓶啤酒時，總量為8%的酒精在瞬間被注入體內。可以近似看作只輸出不輸入的房室。

2.持續一段時間喝下兩瓶啤酒

啤酒以恆定的速率喝下，則滿足 dx/dx(入)=k0。

3.分段脈衝式喝下兩瓶啤酒

每次喝酒的量相同，且瞬間喝下，隔相同的時間再喝酒。假設每次喝下酒的體積均為v，其中酒精含量為c=4%*v/v0，隔的時間均為t。當他每次瞬間喝下時，體內的酒精含量增加了c=4%*v/v0，則他喝完所有的兩瓶酒共需2v0/v次。

五.模型的求解

1.瞬間喝下兩瓶啤酒

系統可看成近似滿足微分方程組dx/dt+kx=0;x(0)=8%，解方程得出x(t)=8%*e^(-kt)。

2.持續一段時間喝下兩瓶啤酒

體內酒精含量滿足： dx/dt+kx=k0;x(0)=0. 組成微分方程組，解方程得

3.分段脈衝式喝下兩瓶啤酒

從他第一次喝酒開始計時，即當時，，則當他第n次喝酒時，

,t=(n-1)t,x(0)=c,x(nt)=c+x(nt-),且dx/dt+kx=0,聯立微分方程組解得

，利用遞迴的思想，最終解得

六．結果表示.

1.瞬間喝下兩瓶啤酒的酒精變化規律為x(t)=8%*e^(-kt)

2.一段時間內喝下兩瓶啤酒的酒精含量變化規律為

3.分段脈衝式喝下兩瓶啤酒的酒精含量變化規律為

七．模型的綜合評價

模型的優點：可以根據函式，通過不同的喝啤酒方法計算出每個時刻體內的酒精含量，可以比較出不同喝酒方法導致的酒精含量變化的快慢。

模型的推廣：可用於計算血藥濃度，比較快速靜脈注射，恆速靜脈注射和口服或肌注的優劣，便於根據不同的疾病找出最合適的**方案。