z變換是對離散序列進行的一種數學變換，其原始思想是英國數學家狄莫弗（de moivre）於2023年首先提出的，之後，從19世紀的拉普拉斯（至20世紀的沙爾（等數學家不斷對其進行了完善性研究。z變換在工程上的應用直到20世紀50年代與60年代隨著取樣資料控制系統、數字通訊以及數字計算機的研究與實踐迅速開展才得以實現，並成為分析這些離散系統的重要數學工具。
類似與連續系統分析中拉氏變換可以將線性時不變系統的時域數學模型—微分方程轉化為s域的代數方程，z變換則把線性移 (時)不變離散系統的時域數學模型—差分方程轉換為z域的代數方程，使離散系統的分析同樣得以簡化，還可以利用系統函式來分析系統的時域特性、頻率響應以及穩定性等，因而在數字訊號處理、計算機控制系統等領域中有著非常廣泛的應用。
本章主要討論z變換的定義、收斂域、性質等基礎知識，並在此基礎上研究離散時間系統的z域分析、離散時間系統的頻域分析等方面的內容。
9.1 z變換的定義
變換的定義可以從兩個方面引出，一是由取樣訊號的拉氏變換過渡到z變換，二是直接針對離散訊號得出。為了強調拉氏變換與z變換之間的聯絡，首先從抽樣訊號的拉氏變換推演出z變換。
9.1.1 從抽樣訊號的拉氏變換匯出z變換
定義在區間上的任意有界連續訊號經過單位衝激週期訊號
抽樣後所得到的抽樣訊號可以表示為
（9.1）
式（9.1）中，為抽樣間隔，對式（9.1）取雙邊拉氏變換可得
交換積分與求和次序，並利用衝激函式的性質可得
（9.2）
式（9.2）中並非復變數s的代數式，故引入乙個新的復變數，即令
9.3這樣，式（9.2）變為變數的函式，有
9.4）
於是得到乙個以為變數的代數式，即序列的變換，其本質上是序列的拉氏變換。若令，即有，則由式（9.4）可得
9.5）
式（9.5）中，符號表示對任意有界序列進行變換，求和變數從到表明這種變換是針對一切值都有定義的一般序列而給出的，故稱之為序列的雙邊z變換。是使和存在的的取值範圍，稱為的收斂域。
現在來討論單邊z變換的定義。單邊z變換也是對任意有界序列定義的，這時，可以假定為一連續因果訊號，將上面推導中單位衝激週期訊號表示式中的求和下限改為0，對所得抽樣訊號進行單邊拉氏變換，並在變換結果中令，便得到單邊z變換的定義為
（9.6）
在上面的雙邊和單邊變換的推導過程中，我們曾將抽樣週期歸一化為1，亦即將抽樣頻率歸一化為，於是得到。這表明，若將離散序列視為是對連續訊號進行抽樣的結果，則可以認為抽樣週期等於1，抽樣頻率等於。認識這一點有助於理解離散序列的頻率特性。
此外，我們還設定或，由此將離散序列與連續訊號在變換域中聯絡了起來，更明確地說就是在拉氏變換中的平面與變換中的平面之間建立了一種對映關係，藉此可以解釋離散訊號和系統與連續訊號和系統之間許多彼此相同的特性。
9.1.2 z變換的原始定義
從抽樣訊號的拉氏變換推導出變換，不僅表明了這兩種變換之間存在著眾多的內在關係，而且貫通了連續系統與離散系統之間的有機聯絡，從而可以借助離散系統對連續系統進行近似的數值分析、計算和模擬。但是，實際上，從數學上也可以直接給出序列的雙邊z變換和單邊z變換的定義，仍如式（9.5）和（9.
6）所示。這時，認為它們是變換的原始或者說是基本定義。這種定義方式完全無關於連續時間訊號與系統，使我們不會簡單地認為變換就是拉氏變換的自然延伸，從而更能表現出變換自身的獨立性與應用上的廣泛性。
9.2雙邊z變換與單邊z變換的關係
由式（9.5）和（9.6）可知，雙邊z變換與單邊z變換的關係為
（9.7）
式（9.7）中，，，可見，因果序列的單邊z變換與雙邊z變換的結果相同，否則兩者不相等。由於單邊變換的求和下限為，所以任一有界序列（因果或非因果序列）的單邊變換等於因果序列的雙邊變換。
由式（9.5）和（9.6）可知：
（1）序列的變換實質是以序列值為加權係數的復變數的冪級數，亦即復變函式中的羅朗級數。對於在區間存在非零有限值的序列，其雙邊變換即包含的正冪級數項，又包含的負冪級數項，而其單邊z變換僅為的負冪級數；（2）序列的每個樣點值都有乙個對應的變換，整個序列的變換是所有樣點值的變換之和。
z變換在離散系統中的應用與拉氏變換在連續系統中的應用類似。由於單邊變換可以考慮到初始條件，所以用於在已知系統的初始狀態以及序列的初始條件時求取系統的瞬態響應，既可以求零輸入響應，也可以求零狀態響應。例如在求解因果系統差分方程的暫態解時，則需要用到單邊z變換。
此外，由於實際訊號多為因果序列，單邊變換比雙邊變換容易收斂，所以在實際中應用較廣；雙邊z變換由於其中序列的取值範圍為，無法考慮初始條件，所以用於研究離散系統的穩態響應，例如在數字訊號處理與數字濾波器的理論與技術中。雙邊z變換的訊號不必限制在範圍內，因而比單邊z變換更能全面地討論問題，例如z變換的性質與收斂域等；此外，雙邊z變換便於與雙邊拉氏變換，特別是傅利葉變換直接產生聯絡，因而較多地用於訊號處理理論中。
在零狀態下或是對於因果序列，單邊z變換便是雙邊z變換的特例。
9.3 z變換的收斂域
對於任意給定的有界序列，使其變換式所表示的級數收斂的所有值之集合，稱為變換的收斂域。
9.3.1雙邊z變換的收斂域
與拉氏變換的情況類似，對於單邊z變換，序列與其變換結果及其收斂域均存在著唯一對應關係，但是在雙邊z變換的情況下，不同的序列儘管其z變換的收斂域不同卻可能對應著完全相同的變換結果。為了清楚地說明這一點，下面舉乙個例子。
例9.1設有序列和，（為實數或複數）試求它們的雙邊z變換。
解：由於序列為一因果序列，所以其雙邊z變換等於單邊z變換，有
這是乙個公比為的等比級數，所以若即，級數收斂，根據等比級數求和公式可得
（9.8）
和拉氏變換一樣，當序列的z變換為一有理分式時，也可以用z平面上的零點（分子多項式的根）和極點（分母多項式的根）來表述。式（9.8）中，的零點和極點分別為和，其收斂域是z平畫上以原點為中心，為半徑的圓的全部圓外區域。
圖9.1（a）繪出了的零極點分布和收斂域，若，則收斂域包括了單位圓（以原點為中心、半徑為的圓）。否則將不包括單位圓。
由於所以序列為一反因果序列，其雙邊z變換為
上式中第二項為一等比級數，只有當即時級數才收斂，這時有
（9.9）
由式（9.9）可見，的零點和極點分別為和，其收斂域是z平畫上以原點為中心，為半徑的圓的全部圓內區域。圖9.1(b)繪出了的零極點分布和收斂域。
（a） 指數序列b）指數序列
圖9.1 指數序列變換的收斂域
對比式（9.8）和（9.9）可見，兩個彼此不同的序列，其雙邊z變換的表示式卻是相同的，但它們的收斂域完全不同（當相同時無公共區域）。
在更為複雜的雙邊變換中，同乙個變換式還可以對應多個時域序列，它們只能根據各自的收斂域來區分，因為如果不同序列的雙邊z變換相同，則它們的收斂域必無公共部分。這表明雙邊z變換式與其收斂域緊密關聯。因此，為了確保雙邊z變換與時域序列之間存在著唯一對應關係，在給出的同時必須指明其收斂域。
由於雙邊變換的收斂域如此重要，所以下面來討論變換收斂域的一般性質，它們對於雙邊變換和單邊變換都是適用的。
性質1.變換的收斂域是平面上以原點為中心的同心圓環。
這是由於是（的極座標形式）的冪級數。以原點為中心的同心圓環說明的收斂域的一般表示式應為，如圖9.2 所示。
在某些情況下，內邊界可以小到零，此時收斂域呈一圓盤狀；外邊界則可以大到無窮大。例如序列的變換收斂域為，序列的變換收斂域為。只有當是單位樣值函式時，其收斂域才是整個平面。
圖9.2 變換收斂域的一般形狀
性質2.變換的收斂域內不能包含任何極點。
由復變函式理論可知，變換定義式（9.5）為一羅朗級數，在其收斂域內是解析的，即z變換函式及其導數在其收斂域內都是的連續函式，亦即z變換函式是其收斂域內每一點上的解析函式。因此，收斂域內不能包括極點（在極點處，其值為無窮大，不收斂），並且是以通過某些極點所在的圓周作為其邊界，但邊界不在收斂域內。
這一點與拉氏變換的收斂域以過極點、平行於軸的直線為邊界相對應。
例9.2已知一變換為，試指出其所有可能的收斂域。
解：的兩個極點分別為和，在處有乙個二階零點，其零極點分布如圖9.3(a)所示。
根據上述收斂域的性質可知，該變換式根據其極點的分布僅有三種可能的收斂域，分別如圖9.3(b)、（c）、(d)所示。不能構成收斂域，因為該域中包含了極點。
圖9.3(b)所示的收斂域是以最外邊的極點為邊界的，它對應於時域中的乙個因果序列（見9.3.
2節），圖9.3(c)所示的收斂域是以最裡邊的極點為邊界的，它對應於時域中的乙個反因果序列（見9.3.
2節），圖9.3(d)所示的環形收斂域是分別以最裡邊的極點和最外邊的極點為邊界的，它對應時域中的乙個雙邊序列（見9.3.
2節）。在三種情況中，只有最後一種可能的收斂域包含了單位圓，因此唯有它所對應序列的傅利葉變換收斂，亦即其傅利葉變換存在。
（ab)
（cd)
圖9.3例9.2中變換式的零極點分布與三種可能的收斂域
（a）的零極點分布圖， (b)對應因果序列的收斂域，
(c)對應反因果序列的收斂域 ， (d) 對應雙邊序列的收斂域
9.3.2序列特徵與其雙邊變換收斂域的對應關係
我們知道，變換的收斂問題是乙個級數收斂問題。根據級數理論可知，乙個任意級數，只要由其各項的絕對值構成的所謂正項級數收斂，則該級數必收斂。因此，雙邊變換式（9.
5）所示的無窮級數收斂或者說變換存在的充分條件是其滿足絕對可和條件，即要求
（9.10）
對於式（9.10）左邊的正項級數，通常可以用兩種方法判別其是否收斂。為了表示簡單，令，並設（比值判定法）或（根值判定法），若<1，則正項級數收斂，於是雙邊變換式（9.
5）所示級數也收斂，這時求出使<1的z取值範圍，便是的收斂域,，反之，若》1，則正項級數發散，因而雙邊變換式（9.5）所示級數也發散；若=1，則無法確定，級數可能收斂也可能發散。這種判定級數收斂性並求出收斂域的方法對於單邊變換式（9.
6）同樣適用。
第七章離散系統的Z變換分析方法
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