1 z變換定義
連續系統一般使用微分方程、拉普拉斯變換的傳遞函式和頻率特性等概念進行研究。乙個連續訊號的拉普拉斯變換是復變數的有理分式函式；而微分方程通過拉普拉斯變換後也可以轉換為的代數方程，從而可以大大簡化微分方程的求解；從傳遞函式可以很容易地得到系統的頻率特徵。因此，拉普拉斯變換作為基本工具將連續系統研究中的各種方法聯絡在一起。
計算機控制系統中的取樣訊號也可以進行拉普拉斯變換，從中找到了簡化運算的方法，引入了z變換。
連續訊號通過取樣週期為t的理想取樣開關取樣後，取樣訊號的表示式為
1）對式（1）作拉普拉斯變換
2）從式（2）可以看出，是的超越函式，含有較為複雜的非線性關係，因此僅用拉普拉斯變換這一數學工具，無法使問題簡化。為此，引入了另乙個復變數「z」，令
3）代入式（2）並令，得
4）式（4）定義為取樣訊號的z變換，它是變數z的冪級數形式，從而有利於問題的簡化求解。通常以表示。
由以上推導可知，z變換實際上是拉普拉斯變換的特殊形式，它是對取樣訊號作的變數置換。
的z變換的符號寫法有多種，如
等，不管括號內寫的是連續訊號、離散訊號還是拉普拉斯變換式，其概念都應該理解為對取樣脈衝序列進行z變換。
式（1），式（2）和式（3）分別是取樣訊號在時域、域和z域的表示式，形式上都是多項式之和，加權係數都是，並且時域中的域中的及z域中的均表示訊號延遲了拍，體現了訊號的定時關係。
在實際應用中，取樣訊號的z變換在收斂域內都對應有閉合形式，其表示式是z的有理分式
5）或的有理分式
6）其分母多項式為特徵多項式。在討論系統動態特徵時，z變換寫成零、極點形式更為有用，式（5）可改寫為式（7）
7）2 求z變換的方法
1）級數求和法
根據z變換定義式（4）計算級數和，寫出閉合形式。
例1 求指數函式的z變換。
解連續函式的取樣訊號表示式為
對應的z變換式為
上式為等比級數，當公比時，級數收斂，可寫出和式為
。例2 求單位脈衝函式的z變換。
解因為取樣訊號的表示式為
對函式，它意味著僅由一項組成，即，且。所以
2）部分分式展開法
最實用的求z變換的方法是利用時域函式或其對應的拉普拉斯變換式查z變換表（見教材附錄），對於表內查不到的較複雜的原函式，可將對應的拉普拉斯變換式進行部分分式分解後再查表。
的一般式為
8）（1）當無重根，則可寫為個分式之和，即
9）係數可按下式求得，即
10）（2）當有重根，設為階重根，為單根，則可展成如下部分分式之和，即
（11）
式（11）中為單根部分分式的待定係數，可按式（10）計算。而重根項待定係數的計算公式如下
12）例3 已知，求其相應取樣函式的z變換。
解用直接查z變換表查不到，所以必須先進行部分分式分解。該式可分解為
其中將諸常數代入部分分式中，有
對照z變換表，查得
13）3 z變換的基本定理
z變換的基本定理和拉普拉斯變換很相似，見表1。這些定理一般均可用z變換定義來證明，以下選擇一些常用的定理進行證明。
表1 拉普拉斯變換和z變換特性
1）實域位移定理
（1）右位移（延遲）定理
若，則14）
式中是正整數。
證明根據定義
令，則根據物理可實現性，時為零，所以上式成為
位移定理的時域描述如圖1所示。
圖1 位移定理的時域圖形描述
從圖中可以看出，取樣訊號經過乙個的純超前環節，相當於其時間特性向前移動步；經過乙個的純滯後環節，相當於時間特性向後移動步。
（2）左位移（超前）定理
若，則15）
證明根據定義有
令，則當時，即在零初始條件下，則超前定理成為
16）2）復域位移定理
若函式有z變換，則
17）式中是常數。
證明根據z變換定義有
令，則上式可寫成
代入，得
3）初值定理
如果函式的z變換為，並存在極限，則
18）或者寫成
19）證明根據z變換定義，可寫成
當z趨於無窮時，上式的兩端取極限，得
4）終值定理
假定的z變換為，並假定函式在z平面的單位圓上或圓外沒有極點，則
20）證明考慮2個有限序列
21）和
（22）
假定對於時所有的，因此在式（3-34）中，比較式（22）和式（21），式（22）可寫成
23）令z趨於1時，式（21）與式（23）差取極限，得
24）在式（24）中取時的極限，得
25）在該式右端改變取極限的次序，且因上式方括號中當時，兩者的級數和均為，由此得
終值定理的另一種常用形式是
26）必須注意，終值定理成立的條件是，在單位圓上和圓外沒有極點，即脈衝函式序列應當是收斂的，否則求出的終值是錯誤的。如函式，其對應的脈衝序列函式為，當時是發散的，而直接應用終值定理得
與實際情況相矛盾。這是因為函式不滿足終值定理的條件所致。
4 z反變換
1）定義
求與z變換相對應的取樣函式的過程稱為z反變換，並表示成
27）注意：z反變換的結果只包含了取樣時刻的資訊，它與連續訊號無一一對應關係，即
28）如圖2所示，3種不同的連續訊號對應著同乙個取樣訊號序列。
圖2 取樣訊號與連續訊號的關係
換句話說，z反變換唯一對應取樣訊號，但可對應無窮多個連續訊號。
2）z反變換的求法
（1）冪級數展開法（長除法）
根據z變換的定義，若z變換式用冪級數表示，則前的加權係數即為取樣時刻的值，即
對應的取樣函式為
例4 已知，求。
解利用長除法
由此得取樣函式為
用長除法求z反變換的缺點是計算較繁，難於得到的通式；優點則是計算並無難度，用計算機程式設計實現也不複雜，而且工程上也只需計算有限項數即可。
（2）查表法（部分分式展開）
工程上最常用的方法是查表法，若較複雜，則首先必須進行部分分式展開，以使展開式的各項能從表中查到。經常碰到z變換式是z的有理分式，對此，可以將展開成部分分式，然後各項乘以z，再查表。這樣做是因為絕大部分z變換式的分子中均含有乙個z因子。
首先假定的所有極點是一階非重極點，則展開式如下
29）式中是的極點，係數可由下式求出
30）在式（29）兩端同乘z，得
31）從z變換表中查得每一項的z反變換，得
32）由此得
33）當有重根時，部分分式形式及係數計算參見式（10）和式（12）。
例5 求下式的z反變換
解該式的部分分式分解可得的部分分式展開式為：
查表得其中
取樣訊號為
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