第七章線性離散系統與z變換
第一節概述
離散系統（取樣數字系統），與連續系統的根本區別在於所處理的訊號是離散型的。在離散控制系統中，認為系統變數僅是在離散的時刻上才發生變化，而在兩個相鄰時刻之間是不發生變化的。離散訊號的時間函式如圖7－1所示。
圖7－1 離散的時間函式
在離散控制系統中最常用的計算機控制系統，其原理圖7－2如所示。
圖7－2 計算機控制系統原理圖
◆ 線性連續系統的動態特性可以由微分方程描述，分析線性定常連續系統採用拉氏變換；
◆ 線性離散系統的動態特性可以用線性差分方程描述，分析線性定常離散系統採用z變換法。z變換是分析單輸入單輸出、線性定常離散系統的有力工具。
第二節 z變換
z變換是由拉氏變換引出的，可以把z變換看成拉氏變換的一種變形。
一、 取樣函式的拉氏變換
設連續時間函式可以進行拉普拉斯變換，其拉氏變換為。連續時間函式經取樣週期為的取樣器取樣後，變成離散訊號
＝ （7－1）
對上式進行拉普拉斯變換，又可得
（7－2）
二、 取樣函式的z變換
在式（7－2）中，由於s在指數裡，給運算帶來許多困難。為此引進新的變數，則式7－2變形為
（7－3）
稱為離散時間函式的z變換，記為或者。相應的z反變換表示為。
一般，取樣函式的變數直接用n表示，即，記作，所以
（7－4）——z變換的無窮級數表示形式
注：只有取樣序列才能定義z變換。有時為書寫方便，也寫，但含義仍是對取樣序列求z變換。
三、由定義求取z變換
由式（7－3）可得，因此只要知道連續時間函式在取樣時刻上的取樣值 ，就可以求取其變換的無窮級數展開式。
z變換的無窮級數形式具有明顯的物理意義。它和原來的離散序列之間，有著非常明確的「幅值」和「定時」對應關係。
——連續時間函式在各取樣時刻上的；
——各取樣時刻；
由於級數展開式具有無窮多項，為了便於應用，需要將無窮級數寫成閉合形式，這其中需要一定的技巧和經驗。
【例】求單位階躍時間序列的z變換
解： 注：用到等比序列的求和公式。——收斂域問題
由於從定義求x(z)比較困難，工程上常常通過查閱已編好的「z變換對照表」來實現。
四、z變換的主要性質
1、線性定理
若，，則有2、延遲定理
若，[, , , , ]，。
即離散訊號在時域內延遲t，則其z變換應該乘以，所以可以看作是滯後乙個取樣週期的運算元。
3、超前定理
若， 即離散訊號在時域內超前t，則其z變換應該乘以，所以可以看作是超前乙個取樣週期的運算元。
注：延遲定理和超前定理，主要用於求解差分方程。
4、復數字移定理
若，則5、復微分定理
若，則。
6、初值定理
若，則。
7、終值定理
若，則有
五、常用函式的z變換對照表
表7-1 常用的拉普拉斯變換與z變換對照表
【例】連續時間函式的拉普拉斯變換為 ，試求取其變換。
解：根據部分分式法，先寫出的拉普拉斯變換的部分分式展開式，即令
其中： ， 可得
查變換表得
第三節 z反變換
由x(z)求出相應的時間序列稱為z反變換，記作。z反變換的求解方法通常有長除法、部分分式法和留數計算法。
一、長除法
長除法是將展開成的無窮級數形式，即
這裡，是離散時間函式在各個取樣時刻上的值，通過長除法來確定。
設其中（按照的公升冪或者z的降冪排列）
【例】注：一般來講，用長除法只能求得時間序列的前若干專案，得不到數學解析式。【例】試應用長除法求取的反變換。
解： 應用長除法得
由此可得
二、部分分式法
應用部分分式法求取反變換的過程，與應用部分分式法求拉普拉斯反變換是很相似的。它需先將寫成部分分式和的形式，即
其中， （7－5）
則z反變換
【例】應用部分分式法求的反變換。
解： 其中： ，
可得由變換表查得
因此根據上式可得：
三、留數計算法
（7－6）
其中，表示極點個數，表示第i個極點。
【例】試應用留數計算法，求的z反變換
解：根據式（7－6）有
因此得z反變換為
◆ 由於z變換是對取樣序列的變換，所以z反變換得到的僅是連續時間函式在各取樣時刻上的函式值，得不到取樣點之間的函式值。
【作業】用部分分式法求的z反變換。
第四節用z變換法求解差分方程
線性離散系統的動態特性可以用線性差分方程描述，採用z變換法求解差分方程，可以使差分方程變成代數方程，大大簡化和方便離散系統的分析與綜合。
一、差分方程的定義
1、後向差分方程
對於單輸入單輸出線性定常系統，在某一取樣時刻的輸出值，不僅與這一時刻的輸入值有關，與k時刻以前的輸入值有關，還與k時刻以前的輸出值有關。可以把這種關係描述如下：
（7－7）
式（7－7）稱為後向差分方程。
2、前向差分方程
對於單輸入單輸出線性定常系統，在某一取樣時刻的輸出值，不僅與這一時刻的輸入值有關，與將來時刻的輸入值有關，還與將來時刻的輸出值有關。可以把這種關係描述如下：
（7－8）
式（7－8）稱為前向差分方程。
◆ 求解差分方程，可用迭代法和z變換方法。
二、迭代法求解差分方程
由式（7－7）變形可得
如果已知系統的初始值和輸入訊號序列，就可以遞推求得。
【例】◆ 用計算機實現迭代法很容易。但在求解之前，必須已知初始條件和輸入序列；遞推解法僅能得到輸出序列的有限項，而且當初始條件或輸入發生變化時，所有步驟必須重做。
三、z變換求解差分方程
採用變換法求解差分方程的實質，是將差分方程變換成以為變數的代數方程，從而獲得差分方程的解。
滯後定理：
超前定理：
【例】用變換法，求解下列差分方程
解：對給定差分方程兩端同時進行變換得
由於則有
即由於 ，則有
因此【例】
◆ 應用變換法，將差分方程變換成以為變數的代數方程時，初始資料便自動包含在代數方程中。
【作業】求下列系統的響應
式中：，
提示：將代入上述方程中，得
解：將代入上述方程中，得 ，取給定系統方程的變換並考慮到初始條件，得
式中系統輸入函式的變換為
因此利用 ，此時有 ， 根據 ，則有或
Z變換與離散時間系統的Z域分析
z變換是對離散序列進行的一種數學變換，其原始思想是英國數學家狄莫弗 de moivre 於1730年首先提出的，之後，從19世紀的拉普拉斯 至20世紀的沙爾 等數學家不斷對其進行了完善性研究。z變換在工程上的應用直到20世紀50年代與60年代隨著取樣資料控制系統 數字通訊以及數字計算機的研究與實踐迅...
第七章管理資訊系統的應用
本章考情分析 本章屬於次重點章，應重點掌握的內容包括 1 管理資訊的特徵和管理資訊的分類 2 管理資訊系統的特點 3 管理資訊系統的結構 4 組織管理層次及其資訊特點 5 基層 中層和高層的資訊系統應用 6 流程管理與資訊系統 7 企業資源規劃 erp 及系統 8 客戶關係管理 crm 及系統 9 ...
第七章全站儀的使用方法
內容 了解全站儀的分類 等級 主要技術指標 掌握全站儀的基本操作，測角 測邊 測三維座標和三維座標放樣的原理和操作方法 了解全站儀的對邊測量 懸高測量 面積測量等方法。重點 全站儀的基本操作，測角 測邊 測三維座標和三維座標放樣的原理和操作方法。難點 全站儀測三維座標和三維座標放樣的原理和操作方法。...