2015-2016學年山西省太原市高三（上）期末數學試卷（理科）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每個小題給出的四個選項中，只有乙個符合題目要求的.
1．已知全集u=z，集合a=，a∪b=，那麼（ua）∩b=（ ）
a． b． c． d．
2．已知複數z=，則|z|等於（ ）
a．1 b．2 c． d．
3．已知命題p：x＞0，x+≥4；命題q：x0∈r，2x0=﹣1．則下列判斷正確的是（ ）
a．p是假命題 b．q是真命題 c．p∧（￢q）是真命題 d．（￢p）∧q是真命題
4．設a=30.5，b=log32，c=cos，則（ ）
a．a＜b＜c b．c＜a＜b c．b＜c＜a d．c＜b＜a
5．執行如圖的程式框圖輸出的t的值為（ ）
a．4 b．6 c．8 d．10
6．函式y=sinx||（0＜x＜π）的圖象大致是（ ）
a． b． c． d．
7．設變數x，y滿足|x﹣a|+|y﹣a|≤1，若2x﹣y的最大值為5，則實數a的值為（ ）
a．0 b．1 c．2 d．3
8．某幾何體三檢視如下圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）
a．16﹣π b．16+π c．16﹣2π d．16+2π
9．已知函式f（x）=x2﹣ax+b（a＞0，b＞0）有兩個不同的零點m，n，且m，n和﹣2三個數適當排序後，即可成為等差數列，也可成為等比數列，則a+b的值為（ ）
a．7 b．8 c．9 d．10
10．已知平面內點a，b，o不共線，，則a，p，b三點共線的必要不充分條件是（ ）
a．λ=μ bc．λ=﹣μ d．λ=1﹣μ
11．在四面體abcd中，已知∠adb=∠bdc=∠cda=60°，ad=bd=3，cd=2，則四面體abcd的外界球的半徑為（ ）
a． b．2 c．3 d．
12．已知函式f（x）在r上的導函式為f′（x），若f（x）＜2f′（x）恆成立，且f（ln4）=2，則不等式f（x）＞e的解集是（ ）
a．（ln2，+∞） b．（2ln2，+∞） c．（﹣∞，ln2） d．（﹣∞，2ln2）
二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分.共20分.
13．（）6的展開式中，常數項為 ．（用數字作答）
14．若a＞b＞c，且a+2b+c=0，則的取值範圍是 ．
15．定義在r上的函式f（x）滿足f（x+6）=f（x）．當﹣3≤x＜﹣1時，當f（x）=﹣（x+2）2，當﹣1≤x＜3時．f（x）=x，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f如圖，正方形abcd的邊長為2，o為ad的中點，射線op從oa出發，繞著點o順時針方向旋轉至od，在旋轉的過程中，記∠aop為x（x∈[0，π]），op所經過正方形abcd內的區域（陰影部分）的面積s=f（x），那麼對於函式f（x）有以下三個結論：
①f（）=；
②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；
③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．
其中所有正確結論的序號是 ．
三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．設數列是各項均為正數的等比數列，且a1=3，a2+a3=36．
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列對任意的正整數n都有+++…+=2n+1，求b1+b2+b3+…+b2015的值．
18．已知a，b，c分別為△abc內角a，b，c的對邊，且ccosa﹣acosc=b．
（1）其的值；
（2）若tana，tanb，tanc成等差數列，求的值．
19．已知平行四邊形abcd中，∠a=45°，且ab=bd=1，將△abd沿bd折起，使得平面abd⊥平面bcd，如圖所示：
（1）求證：ab⊥cd；
（2）若m為ad的中點，求二面角a﹣bm﹣c的余弦值．
20．某校高一年級開設a，b，c，d，e五門選修課，每位同學須彼此獨立地選三門課程，其中甲同學必選a課程，不選b課程，另從其餘課程中隨機任選兩門課程．乙、丙兩名同學從五門課程中隨機任選三門課程．
（ⅰ）求甲同學選中c課程且乙同學未選中c課程的概率；
（ⅱ）用x表示甲、乙、丙選中c課程的人數之和，求x的分布列和數學期望．
21．函式f（x）=axn（1﹣x）（x＞0，n∈n*），當n=﹣2時，f（x）的極大值為．
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）+lnx≤0；
（3）求證：f（x）＜．
請在22、23、24三體中任選一題作答，注意：只能做選做給定的題目，如果多做，則按所做的第乙個題目計分[選修4-1：幾何證明選講]
22．如圖，四邊形abcd內接於⊙o，ba，cd的延長線相交於點e，ef∥da，並與cb的延長線交於點f，fg切⊙o於g．
（1）求證：beef=cebf；
（2）求證：fe=fg．
[選修4-4：座標系與引數方程]
23．已知曲線c1的引數方程為，當t=﹣1時，對應曲線c1上一點a，且點a關於原點的對稱點為b．以原點為極點，以x軸正半軸為極軸建立極座標系，曲線c2的極座標方程為．
（1）求a，b兩點的極座標；
（2）設p為曲線c2上的動點，求|pa|2+|pb|2的最大值．
[選修4-5：不等式選講
24．設函式f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若f（x）≤mx+3+m恆成立，求m的取值範圍．
2015-2016學年山西省太原市高三（上）期末數學試卷（理科）
參***與試題解析
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每個小題給出的四個選項中，只有乙個符合題目要求的.
1．已知全集u=z，集合a=，a∪b=，那麼（ua）∩b=（ ）
a． b． c． d．
【考點】交、並、補集的混合運算．
【分析】根據集合與它的補集關係，利用並集與交集的定義，即可求出結果．
【解答】解：∵全集u=z，集合a=，a∪b=，
∴（ua）∩b=．
故選：a．
2．已知複數z=，則|z|等於（ ）
a．1 b．2 c． d．
【考點】複數求模．
【分析】利用複數代數形式的乘除運算化簡，然後代入複數模的公式計算．
【解答】解：∵z==，
∴|z|=1．
故選：a．
3．已知命題p：x＞0，x+≥4；命題q：x0∈r，2x0=﹣1．則下列判斷正確的是（ ）
a．p是假命題 b．q是真命題 c．p∧（￢q）是真命題 d．（￢p）∧q是真命題
【考點】特稱命題；全稱命題．
【分析】首先，判斷命題p和命題q的真假，然後，結合由邏輯聯結詞「且」、「或」、「非」構成的復合命題的真值表進行判斷即可．
【解答】解：對於命題p：
∵x＞0，∴x+≥2=4，
∴命題p為真命題；
對於命題q：
∵對x∈r，2x＞0，
∴命題q為假命題，￢q為真命題，
故只有選項c為真命題．
故選：c．
4．設a=30.5，b=log32，c=cos，則（ ）
a．a＜b＜c b．c＜a＜b c．b＜c＜a d．c＜b＜a
【考點】對數值大小的比較；運用誘導公式化簡求值．
【分析】利用指數函式、對數函式與三角函式的單調性即可得出．
【解答】解：∵a=30.5＞1，0＜b=log32＜1，c=cos＜0，
∴a＞b＞c．
故選：d．
5．執行如圖的程式框圖輸出的t的值為（ ）
a．4 b．6 c．8 d．10
【考點】迴圈結構．
【分析】根據框圖的流程依次計算程式執行的結果，直到滿足條件s≥15，計算輸出t的值．
【解答】解：由程式框圖知：第一次執行s=0+0+1=1，t=0+2=2；
第二次執行s=1+2×2+1=6，t=2+2=4；
第三次執行s=6+2×4+1=15≥15，t=4+2=6；
滿足條件s≥15，程式終止執行，輸出t=6，
故選：b．
6．函式y=sinx||（0＜x＜π）的圖象大致是（ ）
a． b． c． d．
【考點】函式的圖象．
【分析】對函式去掉絕對值符號，再結合余弦函式的圖象，進而畫出函式y=sinx||（0＜x＜π）的圖象即可．
【解答】解：∵函式y=sinx||（0＜x＜π），
∴函式y=，
∴根據余弦函式的圖象可得其圖象為：
故選：b．
7．設變數x，y滿足|x﹣a|+|y﹣a|≤1，若2x﹣y的最大值為5，則實數a的值為（ ）
a．0 b．1 c．2 d．3
【考點】絕對值三角不等式．
【分析】滿足條件的點（x，y）構成趨於為平行四邊形及其內部區域，令z=2x﹣y，顯然當直線y=2x﹣z過點c（1+a，a）時，z取得最大值為5，即2（1+a）﹣a=5，由此求得a的值．
【解答】解：設點m（a，a）
則滿足|x﹣a|+|y﹣a|≤1的點（x，y）
構成區域為平行四邊形及其內部區域，如圖所示：
令z=2x﹣y，則z表示直線y=2x﹣z在y軸上的截距的相反數，
故當直線y=2x﹣z過點c（1+a，a）時，z取得最大值為5，
即2（1+a）﹣a=5，解得a=3．
故選：d．
8．某幾何體三檢視如下圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）
a．16﹣π b．16+π c．16﹣2π d．16+2π
【考點】由三檢視求面積、體積．
【分析】由三檢視可知：該幾何體是乙個以俯檢視為底面的柱體，求出底面周長和面積，進而可得該幾何體的表面積．
【解答】解：由三檢視可知：該幾何體是乙個以俯檢視為底面的柱體，
底面面積s底=2×2﹣2×=4﹣，
底面周長c=4×1+2××π×2×1=4+π，
由該幾何體的高h=2，
故該幾何體的側面積s側=ch=8+2π，
故該幾何體的表面積s=s側+2s底=16+π，
故選：b
9．已知函式f（x）=x2﹣ax+b（a＞0，b＞0）有兩個不同的零點m，n，且m，n和﹣2三個數適當排序後，即可成為等差數列，也可成為等比數列，則a+b的值為（ ）
a．7 b．8 c．9 d．10
【考點】函式零點的判定定理；二次函式的性質．
【分析】由一元二次方程根與係數的關係得到m+n=a，mn=b，再由m，n，﹣2這三個數可適當排序後成等差數列，也可適當排序後成等比數列列關於m，n的方程組，求得m，n後得答案．
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