[標題] 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關係(一)
[內容]
教學目標
1.使學生理解圓的旋轉不變性，理解圓心角、弦心距的概念；
2.使學生掌握圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關係定理及推論，並初步學會運用這些關係解決有關問題；
3.培養學生觀察、分析、歸納的能力，向學生滲透旋轉變換的思想及由特殊到一般的認識規律
教學重點和難點
圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關係是重點；從圓的旋轉不變性出發，推出圓心角
、弧、弦、弦心距之間的相等關係是難點.
教學過程設計
一、創設情景，引入新課
圓是軸對稱圖形.圓的這一性質，幫助我們解決了圓的許多問題.今天我們再來一起研
究一下圓還有哪些特性.
1.動態演示，發現規律
投影出示圖7-47，並動態顯示：平行四邊形繞對角線交點o旋轉180°後.問：
(1)結果怎樣?
學生答：和原來的平行四邊形重合.
(2)這樣的圖形叫做什麼圖形?
學生答：中心對稱圖形.
投影出示圖7-48，並動態顯示：⊙o繞圓心o旋轉180°.由學生觀察後，歸納出：圓是
以圓心為對稱中心的中心對稱圖形.
投影繼續演示如圖7-49，讓直徑ab兩個端點a，b繞圓心旋轉30°，45°，90°，讓學生觀察發現什麼結論?
得出：不論繞圓心旋轉多度，都能夠和原來的圖形重合.
進一步演示，讓圓繞著圓心旋轉任意角度α，你發現什麼?
學生答：仍然與原來的圖表重合.
於是由學生歸納總結，得出圓所特有的性質：圓的旋轉不變性.即圓繞圓心旋轉任意一
個角度α，都能夠與原來的圖形重合.
2.圓心角，弦心距的概念
我們在研究圓的旋轉不變性時，⊙o繞圓心o旋轉任意角度α後，出現乙個角∠aob，請
同學們觀察一下，這個角有什麼特點?如圖7-50.(如有條件可電腦閃動顯示圖形.)
在學生觀察的基礎上，由學生說出這個角的特點：頂點在圓心上.
在此基礎上，教師給出圓心角的定義，並板書.
頂點在圓心的角叫做圓心角.
再進一步觀察，是∠aob所對的弧，鏈結ab，弦ab既是圓心角∠aob也是ab所對的弦.請同學們回憶，在學習垂徑定理時，常作的一條輔助線是什麼?
學生答：過圓心o作弦ab的垂線.
在學生回答的基礎上，教師指出：點o到ab的垂直線段om的長度，即圓心到弦的距離叫弦心距.如圖7-51.(教師板書定義)
最後指出：這節課我們就來研究圓心角之間，以及它們所對的弧、弦、弦的弦心距之間的關係.(引出課題)
二、大膽猜想，發現定理
在圖7-52中，再畫一圓心角∠a′ob′，如果∠aob＝∠a′ob′，(變化顯示兩角相等)再作出它們所對的弦ab，a′b′和弦的弦心距om，om′，請大家大膽猜想，其餘三組量與，弦ab與a′b′，弦心距om與om′的大小關係如何?
學生很容易猜出：＝，ab＝a′b′，om＝om′.
教師進一步提問：同學們剛才的發現僅僅是感性認識，猜想是否正確，必須進行證明，怎樣證明呢?
學生最容易想到的是證全等的方法，但得不到＝，怎樣證明弧相等呢?
讓學生思考並啟發學生回憶等弧的定義是什麼?
學生：在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫等弧.
請同學們想一想，你用什麼方法讓和重合呢?
學生：旋轉.
下面我們就來嘗試利用旋轉變換的思想證明＝.
把∠aob連同旋轉，使oa與oa′重合，電腦開始顯示旋轉過程，教師邊演示邊提問.
我們發現射線ob與射線ob′也會重合，為什麼?
學生：因為∠aob＝∠a′ob′，
所以射線ob與射線ob′重合.
要證明與重合，關鍵在於點a與點a′，點b與點b′是否分別重合.這兩對點分別重合嗎?
學生：重合.
你能說明理由嗎?
學生：因為oa＝oa′，ob＝ob′，
所以點a與點a′重合，點b與點b′重合.
當兩段弧的兩個端點重合後，我們可以得到哪些量重合呢?
學生：與重合，弦ab與a′b′重合，om與om′重合.
為什麼om也與om′重合呢?
學生：根據垂線的唯一性.
於是有結論：＝，ab＝a′b′，om＝om′.
以上證明運用了圓的旋轉不變性.得到結論後，教師板書證明過程，並引導學生用簡潔的文字敘述這個真命題.
教師板書定理.
定理：在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.
教師引導學生補全定理內容.
投影顯示如圖7-53，⊙o與⊙o′為等圓，∠aob＝∠a′o′b′，om與o′m′分別為ab與a′b的弦心距，請學生回答與，ab與a′b′，om與o′m′還相等嗎?為什麼?
在學生回答的基礎上，教師指出：以上三組量仍然相等，因為兩個等圓可以疊合成同圓
.(投影顯示疊合過程)
這樣通過疊合，把等圓轉化成了同圓，教師把定理補充完整.
然後，請同學們思考定理的條件和結論分別是什麼?並回答：.
條件結論
圓心角所對弧相等；
在同圓或等圓中圓心角所對弦相等；
圓心角相等圓心角所對弦的弦心距相等.
定理是在同圓或等圓這個大前提下，已知圓心角相等，得出其餘三組量相等請同學們思考，在這個大前提下，把圓心角相等與三個結論中的任何乙個交換位置，可以得到三個新命題，這三個命題是真命題嗎?如何證明?
在學生討論的基礎上，簡單地說明證明方法.
最後，教師把這四個真命題概括起來，得到定理的推論.
請學生歸納，教師板書.
推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等.
三、鞏固應用、變式練習
例1 判斷題，下列說明正確嗎?為什麼?
(1)如圖7-54：因為∠aob＝∠a′ob′，
所以＝.
(2)在⊙o和⊙o′中，如果弦ab＝a′b′.那麼=
分析：(1)、(2)都是不對的.在圖7-54中，因為和不在同圓或等圓中，不能用
定理.對於(2)也缺少了等圓的條件.可讓學生舉反例說明.
例2 例2 如圖7-55，點p在⊙o上，點o在∠epf的角平分線上，∠epf的兩邊交⊙o於點a和b.求證：pa＝pb.
讓學生先思考，再敘述思路，教師板書示範.
證明：作om⊥pa，on⊥pb，垂足為m，n.
apo＝∠bpo
om⊥paom＝on . pa＝pb.
on⊥pb
把p點當做運動的點，將例2演變如下：
變式1 (投影打出)
已知：如圖7-56，點o在∠epf的平分線上，⊙o和∠epf的兩邊分別交於點a，b和c，d.
求證：ab＝cd.
變式2 (投影打出)
已知：如圖7-57，⊙o的弦ab，cd相交於點p，∠apo＝∠cpo，
求證：ab＝cd.
由學生口述證題思路.
說明：這組例題均是利用弦心距相等來證明弦相等的問題，當然，也可利用其它方法來證，只不過前者較為簡便.
練習1 已知：如圖7-58，ad＝bc.
求證：ab＝cd.
師生共同分析後，學生練習，一學生上黑板板演.
變式練習.已知：如圖7-58，ad＝bc，求證：ab＝cd.
四、師生共同小結
教師提問：
(1)這節課學習了哪些具體內容?
(2)本節的定理和推論是用什麼方法來證明的?
(3)應注意哪些問題?
在學生回答的基礎上，教師總結.
(1)這節課主要學習了兩部分內容：一是證明了圓是中心對稱圖形.得到圓的特性——圓的旋轉不變性；二是學習了在同圓或等圓中，圓心角、圓心角所對的弧、所對的弦、所對的弦的弦心距之間的關係定理及推論.
這些內容是我們今後證明弧相等、弦相等、角相等的重要依據.
（2）本節通過觀察—猜想—論證的方法，從運動變化中發現規律，得出定理及推論，同時遵循由特殊到一般的思維認識規律，滲透了旋轉變換的思想.
（3）在運用定理及推論解題時，必須注意要有「在同圓或等圓」這一前提條件
五、布置作業
課本p.99.習題組.1(1)，2，3，.4.
思考題：已知ab和cd是⊙o的兩條弦，om和on分別是ab和cd的弦心距，如果ab＞cd，那麼om和on有什麼關係?為什麼?
板書設計
課堂教學設計說明
這份教案為1課時.
如果內容多，部分練習題可在下節課中處理.
圓心角 弧 弦 弦心距之間的關係試題
基礎練習 1 下列說法中正確的是 a 相等的圓心角所對的弧相等b 等弧所對的圓心角相等 c 相等的弦所對的弦心距相等d 弦心距相等，則弦相等 2 在半徑為5cm為圓中，有一條長為6cm的弦，則圓心到此弦的距離為 a 3cmb 4cmc 5cmd 6cm 3 在兩個半徑不同的圓中，分別有和，若和的度數...
弧 弦 圓心角導學案
24.1.3弧 弦 圓心角 第4課時 學習目標 1 理解圓心角的概念，掌握圓的旋轉不變性 中心對稱性 2 掌握圓心角 弧 弦之間的相等關係定理及推論，並初步學會運用這些關係進行有關的計算和證明 3 學習中通過動手操作 觀察 比較 猜想 推理 歸納等活動，發展推理能力以及概括問題的。學習重 難點 重點...
弧弦圓心角練習 學生
弧 弦 圓心角的關係同步練習 一 填空題 1.如圖1,等邊三角形abc的三個頂點都在 o上,d是上任一點 不與a c重合 則 adc的度數是 毛 123 2.如圖2,四邊形abcd的四個頂點都在 o上,且ad bc,對角線ac與bc相交於點e,那麼圖中有 對全等三角形 對相似比不等於1的相似三角形....