24.1 圓的有關性質(第2課時)
一、內容和內容解析
1．內容
垂直於弦的直徑．
2．內容解析
垂徑定理是圓的重要性質，是圓中證明線段相等、角相等以及垂直關係的重要依據，同時也為和圓有關的其它計算、證明、作圖提供了重要的方法和依據，此外垂徑定理也為研究弦、弧、圓心角定理提供了研究方法．圓有許多重要性質，其中最主要的性質是圓的對稱性(軸對稱性和旋轉不變性)，它是探索其他性質的基礎，垂徑定理正是圓的軸對稱性的具體體現．
垂徑定理的條件是：①過圓心；②垂直於弦，結論是：③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧．事實上，以其中任意兩個為條件都可以得出其餘結論．
由於垂徑定理是圓的軸對稱性的具體體現，所以在研究垂徑定理時，採用圖形變化的方法，通過圓的軸對稱性引導學生發現並證明，讓學生體會到從圖形變化中發現問題、解決問題的作用，也為從圓的旋轉對稱性中發現弦、弧、圓心角的關係起到一定的鋪墊作用．
基於以上分析，確定本節課的教學重點是：垂徑定理的探索及初步應用．
二、目標及其解析
1．目標
(1)理解垂徑定理及其推論的條件和結論，會初步用垂徑定理進行簡單的計算．
(2)經歷實驗、猜想、概括、推理得出垂徑定理的過程，體會圓的軸對稱性．
2．目標解析
達成目標(1)的標誌是：學生能理解垂徑定理的條件有兩個:①一條直線(或線段)過圓心；②這條直線(或線段)垂直於弦，結論有三個:
③平分這條弦；④平分這條弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧．學生能利用垂徑定理，並通過勾股定理完成和半徑、弦等有關的簡單計算和證明，感受作「垂直於弦的直徑」的輔助線的作用．
達成目標(2)的標誌是：學生知道圓是軸對稱圖形，並能指出圓的對稱軸；學生能從圓的軸對稱性的角度進行觀察和發現，並能利用疊合法證明垂徑定理．
三、教學問題診斷分析
學生雖然已經學習了軸對稱等圖形變化，但運用圖形變化的觀念去發現問題、解決問題的意識還不強，因此對於垂徑定理的發現和證明時，學生可能不容易想到用軸對稱的角度去思考．此外，垂徑定理的題設與結論比較複雜，題設的變式比較多樣，一些學生不能把握題設的本質，從而造成對定理的理解不深入．
基於以上分析，本課的教學難點是：垂徑定理的探索及題設與結論的理解．
四、教學過程設計
引言上節課我們學習了圓的有關概念，本節課開始我們來探索圓的一些性質．
1．了解圓的軸對稱性
問題1 用紙剪乙個圓，沿著圓的任意一條直徑所在的直線對折，重複幾次，你發現了什麼?由此你能得出什麼結論？
師生活動：教師要求學生課前剪好圓面，課上組織學生操作、思考、歸納，學生親手摺疊，根據觀察的現象體會到圓的軸對稱性，並歸納出：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸．
設計意圖：體會圓的軸對稱性．
2．探索垂徑定理
問題2 觀察圖1，ab是⊙o的一條弦，作直徑cd，使cd⊥ab，垂足為e．思考：
(1)圖1是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什麼？
(2)你能發現圖中有哪些相等的線段和弧？為什麼？
師生活動：教師出示問題，學生觀察、思考、討論、交流．
對於ae＝eb，有些學生可能會想到用等腰三角形的性質進行證明，但對於如何說明弧相等，學生如果想不到疊合法，就很難證明．
教師可提問：
教師追問1：什麼叫等弧？根據定義如何判斷兩條弧是否相等？
教師追問2：為什麼把圖1沿直徑cd摺疊後，ac，ad會分別與bc，bd重合？
設計意圖：通過活動讓學生體會到從圖形的對稱性出發，是發現問題與解決問題的重要方法，追問2的目的是將合情推理與邏輯推理的相結合，培養學生思維的嚴謹性．
問題3 由問題2中的發現，你能歸納出怎樣的結論呢？請用文字語言進行概括．
師生活動：教師出示問題，學生根據問題2中的發現，歸納出垂徑定理．
設計意圖：培養學生歸納概括的能力和提出問題的能力．
教師追問1：定理的條件和結論分別是什麼？圖2中的各種情形符合垂徑定理的條件嗎？為什麼？
圖2(1圖2(2圖2(3)
教師追問2：你能結合圖2(1)，把垂徑定理用符號語言表示嗎？
師生活動：學生通過分析圖2發現，垂直於弦的線不一定必須是直徑，可以是半徑、弦心距及過圓心的直線，而它們的共同特徵是都過圓心．學生結合圖2(1)用數學語言表示垂徑定理： oc過圓心，oc⊥ab， ad＝bd，ac＝bc．
教師追問3：如果將條件中的「垂直弦」與結論中的「平分弦」互換，所得命題成立嗎？
師生活動：教師啟發學生先寫出命題，然後思考命題是否正確．
設計意圖：通過追問1與追問2使學生理解垂徑定理條件的本質，從而真正理解定理．通過追問3，體會垂徑定理及其推論之間的關係，滲透提出問題的一種思維方式．
3．應用垂徑定理
練習1 如圖3，在⊙o中，ab是弦，oe⊥於c，若ab＝8，oc＝3，求⊙o的半徑．
圖3圖4
練習2 如圖4，在⊙o中，ab是直徑，cd是弦，ab⊥cd於e，若ab＝26，oe＝12，求cd的長．
師生活動：學生練習，教師組織學生進行展示、反饋與矯正．
設計意圖：通過上述練習，使學生會運用垂徑定理進行有關的計算，總結運用垂徑定理進行計算的一般方法，感受垂徑定理的作用，並逐步積累體會在圓中解決問題時，一些常用的輔助線．
例如圖5，1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋，它的橋拱是圓弧形，他的跨度(弧所對的弦長)是37.4 m，拱高(也叫弓形高)為7.2 m，求橋拱的半徑(精確到0.1 m)．
師生活動：師生共同將實際問題轉化為數學問題，並畫出幾何圖形．教師組織學生進行思考、討論、展示交流．教師可適時進行啟發：問題中的條件符合哪個定理的條件？
運用垂徑定理求半徑一般在什麼圖形中？這個圖形的各邊已知嗎？有怎樣的關係？
設計意圖：通過趙州橋問題，一方面增強學生解決實際問題的能力，另一方面使學生認識到弦長a，弦心距d，半徑r以及拱形高h之間的關係，利用垂徑定理及勾股定理可以由其中任意兩個求其他兩個．
4．小結
教師和學生一起回顧本節課所學主要內容，並請學生回答下列問題：
(1)垂徑定理的條件和結論分別是什麼？
(2)利用垂徑定理可以求得哪些量？怎樣求得？
(3)本節課是怎樣發現與證明垂徑定理的？
設計意圖：通過小結，幫助學生梳理本節課的核心知識以及應用知識解決問題的方法．
5．布置作業
教科書習題24.1第8，9，12題．
五、目標檢測設計
1．在圓中已知一條弦長8 cm，圓心到這條弦的距離是3 cm，求圓的半徑．
設計意圖：考查學生是否會運用垂徑定理進行直接計算．
2．如圖是一圓弧形拱橋的示意圖，拱的跨度ab＝16 m，拱高cd＝4 m，那麼弓形的半徑是多少．
設計意圖：考查學生是否會運用垂徑定理，通過新增輔助線，用方程進行計算．
24 1 2垂直於弦的直徑
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