1 求（1）二階曲線的切線方程
（2）二級曲線在直線l[1，4，1] 上的切點方程
解：（1）將p點代入二階曲線方程中得spp=0
所以p點在二階曲線上，故切線方程為sp=0
即=0即為所求切線方程。
（2）設點p（x1,x2,x3）為二級曲線在l[1，4，1]上的切點
則（x1,x2,x3）=0
即x1+4x2-17x3=0
故所求切線方程為x1+4x2-17x3=0。
2求二次曲線 x2+3xy-4y2+2x－10y=0的中心與漸近線。
解：二次曲線的齊次方程為：x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0，
∴二次曲線為常態的，
設中心則中心為
求漸近線方程：a11x2+2a12xy+a22y2=0， x=x－ξ，y=y－η。
從x2+3xy－4y2=0 →（x+4y）（x－y）=0.
x+4y=(x－)+4 (y+)=0→5x+20y+18=0，
x－y=(x－)－(y+)=0→5x－5y－8=0。
3已知二階曲線（c）：
（1） 求點關於曲線的極線
（2） 求直線關於曲線的極點
解：（1）
即9x1+2x2+4x3=0為所求極線。
（2）設為所求，則
得2得即（）為所求
4 △abc的二頂點a與b分別在定直線α和β上移動，三邊ab，bc， ca分別過共線的定點p，q，r，求證頂點c也在一定直線上移動
證明：設α×β=0（定點），△a0b0c0是滿足條件的定三角形，
△abc是滿足條件的任意三角形。
∵a0b0×bc=q，a0c0×ac=r。由代沙格定理逆定理得，
三線a0a，b0b，c0c共點o，即c在定直線c0o上移動（圖14）。
5證明雙曲線：的兩條以λ，λ'為斜率的直徑成為共軛的條件是λλ'=
證明：漸近方向為b2x2－a2y2=0，漸近斜率為k=，k'=－，
λ，λ'是一對共軛直徑的斜率，故（ λλ'，kk'）=－1,
即，化簡後得： 2λλ'+2kk'=0
因為kk'=， 所以λλ' =。
6 求射影變換的不變元素
解；由方程得所以
所以於是得x2=0為不變點列，所以x2=0這條直線上的點都是不變點，因此這直線是不變直線。
7求射影變換的固定元素。
解：由方程
得（1+=0，
將代入（3.4.3）得
於是得為不變點列，這條直線上的點都是不變點，因此這直線是不變直線。
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