gegebao
摘要：程式基於matlab，包括問題陳述、演算法與程式、結果與分析、討論四個部分。
一、問題陳述
下面的非線性方程組在求解的時候都會遇到一些困難，請使用標準的庫函式或者自己編寫的程式，按照給定的初值求解這些問題。在每個題中，都可能出現不收斂或者收斂到某值但又不是方程組的解，試給出解釋；觀察其收斂速度，如果比預想的要慢，試解釋其原因。
（1）取初值x1 =15，x2=-2,求解
（2）取初值
二、演算法與程式
本次作業採用牛頓法求解非線性方程組。
（1）求解前，我們先將方程組的式子變形為函式f1和f2：
下面是接下來過程的**，每一次迭代的結果被儲存在x的二維陣列裡:
x=[15;-2];i=1;f=1對座標取初值，對其他值初始化
while(log10(norm(f))>-15) %迭代結束的條件，當[f1;f2]的範數小於預設值結束迭代
a=x(1,i);b=x(2,i為了使**簡潔一點，將值賦給單字母的兩個變數a和b
f=[a+b*(b*(5-b)-2)-13;a+b*(b*(1+b)-14)-29求解f=[f1;f2]
df=[1,-b*(b-5)-b*(2*b-5)-2;1,b*(b+1)+b*(2*b+1)-14求解
x(:,i+1)=x(:,i)-df^(-1)*f求下一組解向量
i=i+1;
end（2）求解前，我們先將方程組的式子變形為函式f1、f2和f3：
x=[(1+3^(0.5))/2;(1-3^(0.5))/2;3^(0.5)];i=1;f=1; %對座標取初值，對其他值初始化
while(log10(norm(f))>-15) %迭代結束的條件，當[f1;f2;f3]的範數小於預設值結束迭代
a=x(1,i);b=x(2,i);c=x(3,i); %為了使**簡潔一點，將值賦給單字母的三個變數a、b和c
f=[a^2+b^2+c^2-5;a+b-1;a+c-3求解f=[f1;f2;f3]
df=[2*a,2*b,2*c;1,1,0;1 0 1求解
x(:,i+1)=x(:,i)-df^(-1)*f求下一組解向量
i=i+1;
end三、結果與分析
（1）執行**，將儲存解向量的二維陣列列印出來，如下表
x1=5，x2=4
下面是將每一步迭代的結果按照順序連線起來的圖。
解法收斂得並不快。x（k）在起點附近**了很多次，最後才收斂到結束點。將結果帶入方程的確是方程的解。
通過影象可以看出，起始點和解還是距離很遠的，因此前幾次迭代中，迭代結果並沒有向結果靠近，這可能是導致解法收斂較慢的原因。當起始點遠離解時，高階導數起到的作用更加明顯，我們通過一階線性近似的牛頓法，不能夠保證迭代過程中的每一步總能夠向解靠近，迭代會在區域性**很多次才收斂到解上去，於是導致收斂速度很慢。
（2）執行程式，程式會報錯，檢查結果可以發現，給定的初始點處的是乙個奇異矩陣，在求逆過程中會報錯。
我們先討論另外乙個問題，就是當行列式比較小，的逆的行列式會與之相反地特別大。這樣迭代出來的x會比較遠離上乙個x的值。但是如果我們確信解就在給定的初始值附近，那麼這樣的迭代會使x跑到離解比較遠的地方去，明顯不利於迭代的收斂。
其實奇異也是相同的問題，只不過行列式小到了0，其逆趨向於無窮。我們可以對這兩種問題合併為乙個問題來加以處理。
我們考慮當的行列式比較小時，可以讓加上乙個矩陣再來求逆，這樣x就不會**得太厲害。這樣處理後迭代過程仍然收斂到解處。
但從另一方面，我們又不能太影響的性質，因為畢竟反映了方程組的一階線性趨勢，解有可能真的離初始點非常遠。所以我們的干擾要盡可能小，所以加上的矩陣要盡可能小。
下面提供兩種處理方法。
1.加法
x=[(1+3^(0.5))/2;(1-3^(0.5))/2;3^(0.5)];i=1;f=1;
e=[0.01,0,0;0,0,0;0,0,0小矩陣e
while(log10(norm(f))>-15)
a=x(1,i);b=x(2,i);c=x(3,i);
f=[a^2+b^2+c^2-5;a+b-1;a+c-3];
df=[2*a,2*b,2*c;1,1,0;1 0 1];
if(abs(det(df))>10^(-3根據的行列式的值來確定不同的迭代方案
x(:,i+1)=x(:,i)-df^(-1)*f;
else
x(:,i+1)=x(:,i)-(df+e)^(-1)*f加上乙個小的矩陣e
endi=i+1;
end結果：x1=5/3，x2=-2/3，x3=4/3
2.減法
x=[(1+3^(0.5))/2;(1-3^(0.5))/2;3^(0.5)];i=1;f=1;
e=[0.01,0,0;0,0,0;0,0,0小矩陣e
while(log10(norm(f))>-15)
a=x(1,i);b=x(2,i);c=x(3,i);
f=[a^2+b^2+c^2-5;a+b-1;a+c-3];
df=[2*a,2*b,2*c;1,1,0;1 0 1];
if(abs(det(df))>10^(-3根據的行列式的值來確定不同的迭代方案
x(:,i+1)=x(:,i)-df^(-1)*f;
else
x(:,i+1)=x(:,i)-(df-e)^(-1)*f減去乙個小的矩陣e
endi=i+1;
end結果：x1=1，x2=-0，x3=2
採用不同的處理方法，會收斂到兩個不同的值。這應該是因為在初始點處，兩種不同方法使後來的迭代分別在初始點的兩邊進行，然後收斂到了不同的解上面。帶入題中，兩個解都是正確的。
兩種方法都用了十四步得到要求精度的解，收斂的速度很快，可見這樣的處理還是合適的，
四、討論
本次作業使用了牛頓法。牛頓法說到底就是將非線性問題在某個區域性轉化為線性問題（只保留到一階導），然後用一步又一步的線性運算向解靠近，最終的到真正的解。但是這其中會遇到一些麻煩，奇異矩陣就是其一。
奇異矩陣本質上而言，就是牛頓法在某一步迭代中得到的線性方程組（以矩陣的形式呈現）是沒有解，或者使結果與上一步迭代的結果相差太遠，這都對收斂有害。當然我們清楚的知道，我們每一步並不是要得到乙個精確解，而是乙個更靠近解的結果，所以我們可以對方程組稍作變化，比如讓矩陣加上或減去乙個小的矩陣，得到乙個近似的解。上面的題也支援了這樣的處理，迭代的結果仍然會收斂到正確的解上。
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