第四單元圖形初步與三角形
第13講圖形的初步認識
知識梳理
一、直線、射線、線段
1．直線的基本性質
(1)兩條直線相交，只有________交點．
(2)經過兩點有且只有一條直線，即：兩點確定一條
2．線段的性質
所有連線兩點的線中，線段最短，即：兩點之間______最短．
3．線段的中點
把一條線段分成兩條________線段的點，叫做這條線段的中點．
4．直線、射線、線段的區別與聯絡
二、角的有關概念及性質
1．角的有關概念
角是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形．射線端點叫做角的頂點，兩條射線是角的兩邊．從乙個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線就叫做這個角的________．
2．角的單位與換算
1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．
3．餘角與補角
如果兩個角的和等於________，就說這兩個角互為餘角；如果兩個角的和等於______，就說這兩個角互為補角．同角(或等角)的餘角________；同角(或等角)的補角______．
4．對頂角與鄰補角
在兩條相交直線形成的四個角中，如果兩個角有公共頂點，乙個角的兩邊分別是另乙個角兩邊的反向延長線，這樣的兩個角稱為對頂角．如果兩個角有公共頂點，有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，這樣的兩個角為鄰補角．對頂角________，鄰補角________．
三、垂線的性質與判定
1．垂線及其性質
垂線：兩條直線相交所構成的四個角中有乙個角是則這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線．
性質：(1)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；(2)直線外一點與直線上各點連線的所有線段中，垂線段最短．(簡說成：垂線段最短)
2．點到直線的距離
直線外一點到這條直線的________的長度，叫做點到直線的距離．
3．判定
若兩條直線相交且有乙個角為直角，則這兩條直線互相垂直．
四、平行線的性質與判定
1．概念
在同一平面內，不相交的兩條直線，叫做平行線．
2．平行公理
經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．
3．性質
如果兩條直線平行，那麼同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補．
4．判定
同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行；在同一平面內垂直於同一直線的兩直線________，平行於同一直線的兩直線______．
自主測試
1．如圖，c，d是線段ab上兩點，若cb＝4 cm，db＝7 cm，且d是ac的中點，則ac的長為( )
a．3 cm b．6 cm
c．11 cm d．14 cm
2．如圖，已知直線ab，cd相交於點o，oe平分∠cob，若∠eob＝55°，則∠bod的度數是( )
a．35° b．55°
c．70° d．110°
3．如圖所示，∠1＋∠2＝( )
a．60° b．90°
c．110° d．180°
4．下列四個角中，最有可能與70°角互補的角是( )
5．如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，則∠4
考點一、直線、射線、線段
【例1】在直線l上任取一點a，擷取ab＝16 cm，再擷取ac＝40 cm，求ab的中點d與ac的中點e的距離．
解：(1)當c在ab的延長線上時，如圖，
∵d是ab的中點，ab＝16 cm，
∴ad＝ab＝×16＝8(cm)．
∵e是ac的中點，ac＝40 cm，
∴ae＝ac＝×40＝20(cm)．
∴de＝ae－ad＝20－8＝12(cm)．
(2)當c在ba的延長線上時，如圖，由(1)知ad＝8 cm，ae＝20 cm.
∴de＝ae＋ad＝20＋8＝28(cm)．
答：d點與e點的距離是12 cm或28 cm.
方法總結對於線段的和、差關係以及線段的中點問題的計算，需結合圖形，認真觀察分析．若已知線段上給出的點未明確其位置，還需要分類討論，千萬不要漏解．
觸類旁通1 如圖，點c是線段ab上的點，點d是線段bc的中點，若ab＝12，ac＝8，則cd
考點二、角的計算
【例2】如圖，已知直線ab，cd相交於點o，oa平分∠eoc，∠eoc＝100°，則∠bod的度數是( )
a．20° b．40°
c．50° d．80°
解析：∵oa平分∠eoc，∠eoc＝100°，
∴∠aoc＝∠eoc＝50°.
又∵∠bod與∠aoc是對頂角，
∴∠bod＝∠aoc＝50°，故選c.
答案：c
方法總結解決有關圖形中的角的計算問題時，首先要從圖形中讀出具有度量關係的角，如互餘、互補、對頂角等，然後合理利用相關的定義、性質求解．
觸類旁通2 如圖，直線eo⊥cd，垂足為點o，ab平分∠eod，則∠bod的度數為( )
a．120° b．130°
c．135° d．140°
考點三、平行線的性質與判定
【例3】如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，則∠4的度數是( )
a．110° b．115° c．120° d．125°
解析：∵∠2＝∠6，∠1＝∠2，∴∠1＝∠6，
∴l1∥l2，∴∠3＋∠5＝180°.
∵∠3＝55°，∴∠5＝125°.
∵∠4與∠5是對頂角，
∴∠4＝∠5＝125°，故選d.
答案：d
方法總結平行線的性質和判定常用來解決下列問題：
(1)作圖形的平移；
(2)證明線段或角相等；
(3)證明兩直線平行；
(4)證明兩直線垂直．
觸類旁通3 如圖，已知直線a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，則∠3等於( )
a．100° b．60° c．40° d．20°
1．(2012重慶)已知：如圖，bd平分∠abc，點e在bc上，ef∥ab，若∠cef＝100°，則∠abd的度數為( )
a．60° b．50° c．40° d．30°
2．(2012山東臨沂)如圖，ab∥cd，db⊥bc，∠1＝40°，則∠2的度數是( )
a．40° b．50°
c．60° d．140°
3．(2012湖南長沙)下列四個角中，最有可能與70°角互補的是( )
4．(2012湖南長沙)如圖，ab∥cd∥ef，那麼∠bac＋∠ace＋∠cef＝________度．
a．2個 b．3個 c．4個 d．1個
4．如圖，已知直線ab∥cd，∠a＝70°，∠c＝40°，則∠e等於( )
(第4題圖)
a．30° b．40° c．60° d．70°
5．如圖所示，已知cd平分∠acb，de∥ac，∠1＝30°，則∠2
(第5題圖)
6．如圖所示，直線a，b被c，d所截，且c⊥a，c⊥b，∠1＝70°，則∠2
7．如圖，把矩形abcd沿ef對折後使兩部分重合，若∠1＝50°，則∠aeg
8．(1)如圖，∠aob＝90°，∠boc＝30°，om平分∠aoc，on平分∠boc，求∠mon的度數．
(2)如果(1)中∠aob＝α，其他條件不變，求∠mon的度數．
(3)如果(1)中∠boc＝β(β為銳角)，其他條件不變，求∠mon的度數．
(4)從(1)，(2)，(3)的結果能看出什麼規律？
(5)線段的計算與角的計算存在著緊密的聯絡，它們之間可以互相借鑑解法，請你模仿(1)～(4)，設計一道以線段為背景的計算題，寫出其中的規律來．
參***
導學必備知識
自主測試
1．b 2．c 3．b 4．d 5．118°
**考點方法
觸類旁通1．2 因為ab＝12，ac＝8，所以bc＝ab－ac＝12－8＝4.又點d是線段bc的中點，所以cd＝bc＝2.
觸類旁通2．c 因為直線eo⊥cd，垂足為點o，所以∠doe＝90°.又ab平分∠eod，所以∠aod＝45°.因為∠aod與∠bod是鄰補角，所以∠bod＝135°，故選c.
觸類旁通3．a 過∠3的頂點作直線c∥a，∴∠4＝∠1＝40°.
∵a∥b，∴b∥c，∴∠5＝∠2＝60°，
∴∠3＝∠4＋∠5＝60°＋40°＝100°，故選a.
品鑑經典考題
1．b ∵ef∥ab，∠cef＝100°，∴∠abc＝100°.
∵bd平分∠abc，∴∠abd＝∠dbc，∴∠abd的度數為50°.
2．b ∵ab∥cd，∠1＝40°，∴∠bcd＝∠1＝40°.
∵db⊥bc，∴∠2＝90°－∠bcd＝90°－40°＝50°.故選b.
3．d 因為70°角的補角＝180°－70°＝110°，是鈍角，結合各選項，只有d選項中的角是鈍角，故選d.
4．360 ∵ab∥cd，∴∠bac＋∠acd＝180°①.
∵cd∥ef，∴∠cef＋∠ecd＝180°②，
①＋②得，∠bac＋∠acd＋∠cef＋∠ecd＝180°＋180°＝360°，即∠bac＋∠ace＋∠cef＝360°.
5．6 由題意得，平面內的不同的n個點最多可確定條直線，則＝15，所以n＝6.
研習**試題
1．d 2．b 3．a 4．a
5．60° ∵cd平分∠acb，∴∠acb＝60°.∵de∥ac，
∴∠2＝∠acb＝60°.
6．70° 7．130°
8．解：(1)∠mon＝∠com－∠con＝∠aoc－∠boc＝×120°－×30°＝45°；
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