矩形、菱形、正方形
◆ 課前熱身
1.如圖，將矩形abcd沿be摺疊，若∠cba′=30°則∠bea′=_____．
2．如圖，菱形abcd的邊長為10cm，de⊥ab，，則這個菱形的面積= cm2．
3．如圖1，由「基本圖案」正方形abco繞o點順時針旋轉90°後的圖形是 ( )．
基本圖案
圖1abcd．
4.順次連線對角線互相垂直的四邊形的各邊中點，所得圖形一定是（ ）
a．矩形 b．直角梯形 c．菱形 d．正方形
5．如圖，四邊形abcd是平行四邊形，
使它為矩形的條件可以是 ．
6的平行四邊形是是菱形（只填乙個條件）．
【參***】
1.60° 2.60 4. a
5.答案不唯一，如ac=bd，∠bad=90o，等
6.對角線互相垂直（或有一組鄰邊相等，或一條對角線平分一組對角）
◆考點聚焦
知識點矩形菱形正方形
大綱要求
1．理解幾種特殊的平行四邊形的定義、特徵和識別方法．
2．理解幾種特殊的平行四邊形之間的關係．
3．了解特殊平行四邊形的面積公式，中點四邊形和重心的物理意義．
4．會求解特殊平行四邊形與函式或三角函式有關的問題．
5．會求特殊平行四邊形中涉及全等、相似和其他幾何變換的問題．
考查重點和常考題型
本節內容的試題涉及特殊平行四邊形的概念、性質、判定及它們之間的關係，主要考查邊長、對角線長、面積等的計算，題型有填空題、選擇題，但更多的是證明題，求值計算題、條件探索題、幾何動態問題和與函式結合題．
◆備考兵法
1．在求菱形的邊長、角度、對角線長等問題時，通常是在某乙個直角三角形中運用勾股定理及有關直角三角形的知識來解決．正方形的性質很多，要根據題目的已知條件，選擇最恰當的方法，使解題思路簡捷．
2．在解答時，要根據特殊平行四邊形的一些特殊規律或新增相應的輔助線，將所求的結論轉化在特殊的平行四邊形或三角形中思考，要注意尋找圖形中隱含的相等的邊和角．
◆考點鏈結
1. 特殊的平行四邊形的之間的關係
2. 特殊的平行四邊形的判別條件
要使 abcd成為矩形，需增加的條件是
要使 abcd成為菱形，需增加的條件是
要使矩形abcd成為正方形，需增加的條件是
要使菱形abcd成為正方形，需增加的條件是
3. 特殊的平行四邊形的性質
◆ 典例精析
例1（浙江杭州）如果用4個相同的長為3寬為1的長方形，拼成乙個大的長方形，那麼這個大的長方形的周長可以是
【答案】14或16或26
【解析】本題考查了學生的空間想象能力和發散思維能力。解答本題最好能將所有的拼法畫出來後再進行求解。本題的不同拼法有：
例2（浙江杭州） 如圖，在菱形abcd中，∠a=110°，e，f分別是邊ab和bc的中點，ep⊥cd於點p，則∠fpc=( )
a.35° b.45° c.50° d.55°
【答案】 d
【解析】本題綜合考查了菱形的性質、等腰三角形的性質、三角形全等、直角三角形斜邊上的中線的性質、三角形的內角和等知識點，是一道綜合性很強的題目。
解答本題應首先延長pf交ab的延長線於點g，根據題意，利用角角邊可證明≌，於是得到，pf=fg，所以在中，ef是斜邊上的中線，於是得到fe=fg，所以，又因為e、f分別為中點，所以eb=fb，所以，fe=fg=bf，所以，又因為∠a=110°，所以,因此，,解得。
例3（年貴州貴陽）如圖，已知面積為1的正方形abcd的對角線相交於點o，過點o任意作一條直線分別交ad、bc於e、f，則陰影部分的面積是 ．
【答案】或0.25.
【解析】本題綜合考察了利用正方形的性質和全等三角形的判定的知識進行有關計算的能力，屬於基礎題，依據已知和正方形的性質及全等三角形的判定可知△aoe≌△cof,則得圖中陰影部分的面積為正方形面積的，因為正方形的邊長為1，則其面積為1，於是這個圖中陰影部分的面積為。解答這類題時一般採取利用圖形的全等的知識將分散的圖形集中在一起，再結合圖形的特徵選擇相應的公式求解。
例4（山東威海）如圖1，在正方形中，分別為邊上的點，，連線交點為．
（1）如圖2，連線，試判斷四邊形的形狀，並證明你的結論；
（2）將正方形沿線段剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成乙個四邊形．若正方形的邊長為3cm，，則圖3中陰影部分的面積為
【分析】（1）結合條件觀察圖形2容易發現：，得出：四邊形efgh是菱形；再由可知：
，從而證得四邊形是正方形.（2）連線eh、hg、gf、fe，由第（1）小題可知：四邊形是正方形，可得陰影部分面積是1.
【答案】（1）四邊形是正方形．
證明： 四邊形是正方形， .，
．．．四邊形是菱形．
由知．，．．
四邊形是正方形．
（2）1．
迎考精煉
一、選擇題
1.（吉林長春）菱形在平面直角座標系中的位置如圖所示，，則點的座標為（ ）
a． b． c． d．
2．（廣西南寧）如圖，將乙個長為10cm，寬為8cm的矩形紙片對折兩次後，沿所得矩形兩鄰邊中點的連線（虛線）剪下，再開啟，得到的菱形的面積為（ ）
a． b． c． d．
3.（湖南長沙）如圖，矩形的兩條對角線相交於點，，則矩形的對角線的長是（ ）
a．2 b．4 cd．
4．（湖北孝感）如圖，正方形abcd內有兩條相交線段mn、ef，m、n、e、f分別在邊ab、cd、ad、bc上．小明認為：若mn = ef，則mn⊥ef；小亮認為: 若mn⊥ef，則mn = ef．你認為（ ）
a．僅小明對 b．僅小亮對 c．兩人都對 d．兩人都不對
5．（黑龍江齊齊哈爾市）梯形中，，，，，，則的長為
a．2 b．3 c．4 d．5
6．（山西）如圖（1），把乙個長為、寬為的長方形（）沿虛線剪開，拼接成圖（2），成為在一角去掉乙個小正方形後的乙個大正方形，則去掉的小正方形的邊長為（ ）
abcd．
二、填空題
1.（廣西賀州）如圖，正方形abcd的邊長為1cm，e、f分別是bc、cd的中點，連線bf、de，則圖中陰影部分的面積是cm2．
2.（青海）如圖，四邊形的對角線互相平分，要使它變為菱形，需要新增的條件是 （只填乙個你認為正確的即可）．
3.（天津市）我們把依次連線任意乙個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．若乙個四邊形的中點四邊形是乙個矩形，則四邊形可以是 ．
4.（山東煙台）如圖，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是乙個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那麼菱形周長的最大值是 ．
5．（山東日照）如圖，在四邊形abcd中，已知ab與cd不平行，∠abd＝∠acd，請你新增乙個條件使得加上這個條件後能夠推出ad∥bc且ab＝cd.
三、解答題
1.（浙江嘉興）如圖，在平行四邊形abcd中，於e，於f，bd與ae、af分別相交於g、h．
（1）求證：△abe∽△adf；
（2）若，求證：四邊形abcd是菱形．
2. (安順安順)如圖，在△abc中，d是bc邊上的一點，e是ad的中點，過a點作bc的平行線交ce的延長線於點f，且af=bd，鏈結bf。
（1） 求證：bd=cd；
（2） 如果ab=ac，試判斷四邊形afbd的形狀，並證明你的結論。
3.（湖南益陽）如圖，△abc中，已知∠bac＝45°，ad⊥bc於d，bd＝2，dc＝3，求ad的長.
小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻摺變換，巧妙地解答了此題.
請按照小萍的思路，**並解答下列問題：
(1)分別以ab、ac為對稱軸，畫出△abd、△acd的軸對稱圖形，d點的對稱點為e、f，延長eb、fc相交於g點，證明四邊形aegf是正方形；
(2)設ad=x，利用勾股定理，建立關於x的方程模型，求出x的值.
4.（吉林長春）如圖，在矩形中，點分別在邊上，，，求的長．
5.（廣西南寧）如圖，要設計乙個等腰梯形的花壇，花壇上底長公尺，下底長公尺，上下底相距公尺，在兩腰中點連線（虛線）處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等．設甬道的寬為公尺．
（1）用含的式子表示橫向甬道的面積；
（2）當三條甬道的面積是梯形面積的八分之一時，求甬道的寬；
（3）根據設計的要求，甬道的寬不能超過6公尺.如果修建甬道的總費用（萬元）與甬道的寬度成正比例關係，比例係數是5.7，花壇其餘部分的綠化費用為每平方公尺0.
02萬元，那麼當甬道的寬度為多少公尺時，所建花壇的總費用最少？最少費用是多少萬元？
6.（福建龍巖）在邊長為6的菱形abcd中，動點m從點a出發，沿a→b→c向終點c運動，連線dm交ac於點n．
（1）如圖1，當點m在ab邊上時，連線bn．
①求證：；
②若∠abc = 60°，am = 4，∠abn =，求點m到ad的距離及tan的值；
（2）如圖2，若∠abc = 90°，記點m運動所經過的路程為x（6≤x≤12）．試問：x為何值時，△adn為等腰三角形．
【參***】
一、選擇題
2. a 3. b 4. c 5. b 6. a
二、填空題
1.2.或，或，或，或
3.正方形（對角線互相垂直的四邊形均可）
4.17
5.∠dac＝∠adb，∠bad＝∠cda，∠dbc＝∠acb，∠abc＝∠dcb，ob＝oc，oa＝od；(任選其一)
三、解答題
1.（1）∵ae⊥bc，af⊥cd，∴∠aeb＝∠afd＝90°．
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