10.1分類計數原理和分步計數原理
松四中趙芹
【教學目標】1.了解學習本章的意義，激發學生的興趣；
2.理解分類計數原理和分步計數原理，培養學生歸納概括的能力；
3.會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應用問題
【教學重點】理解分類計數原理和分步計數原理，培養學生歸納概括的能力
【教學難點】會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應用問題
【教學方法】模擬、**、講練結合及多**教學
【教學課時】一課時
【教學過程】
先觀察課題「分類計數原理和分步計數原理」，發現這兩個原理只有一字之差，乙個「分類」，乙個「分步」，我們要帶著這樣三個問題開始進入學習：
1、這兩個原理是用來幹什麼的？
2、這兩個原理應該怎樣區別？
3、這兩個原理應該怎樣去使用？
引入新課
引例1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中， 火車有3班, 汽車有2班。那麼一天中乘坐這些交通工具， 從甲地到乙地共有多少種不同的走法？
問：這個引例要解決的問題是什麼？
答：計算從甲地到乙地的方法總數。（確定事件）
問：完成從甲地到乙地的關鍵是什麼？
答：選擇不同交通工具。（確定完成該事件的關鍵）
問：從甲地到乙地方法總數是多少？
答：5種。（確定方法總數）
變題1：若從甲地到乙地還有4班飛機可乘，此時又有多少種不同走法？
變題2：若完成一件事，有n 類辦法，在第1類辦法中有種不同方法在第2類中有種不同方法，……，在第n類辦法中有種不同方法每一類方法中的每一種方法均可完成這件事，那麼完成這件事情共有多少種不同方法？
分類計數原理（加法原理）：若完成一件事，有n 類辦法，在第1類辦法中有種不同方法，在第2類中有種不同方法，……，在第n類辦法中有種不同方法。每一類方法中的每一種方法均可直接完成這件事，那麼完成這件事情共有種不同方法。
引例 2：從甲地到乙地，先從甲地乘火車到丙地，再於次日從丙地乘汽車到乙地。一天中，火車有3班，汽車有2班，那麼兩天中，從甲地到乙地，共有多少種不同的走法?
問：這個引例要解決的問題又是什麼？
答：計算從甲地到乙地的方法總數。（確定事件）
問：從甲地能不能直接到乙地？
答：不能。
問：分幾步完成？
答：兩步。第一步：從甲地到丙地；第二步：從丙地到乙地。（確定完成該事件的關鍵及步驟）
問：從甲地到乙地方法總數是多少？
答：6種。（確定方法總數）
變題1： 從甲地到乙地，先從甲地乘火車到丙地，再於次日從丙地乘汽車到丁地，再於第三日從丁地乘飛機到乙地。一天中，火車有3班，汽車有2班，飛機有4班，那麼三天中， 從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？
分步計數原理（乘法原理）：若完成一件事，分成n 個步驟 ，做第1 步有種不同方法，做第2 步有種不同方法，……，做第n 步有種不同方法。每一種方法均需幾步才可完成這件事，那麼完成這件事情共有種不同方法。
回顧兩個引例：
1、從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有3班, 汽車有2班。那麼一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？
n = 3 + 2 = 5
2、從甲地到乙地，先從甲地乘火車到丙地，再於次日從丙地乘汽車到乙地。一天中，火車有3班，汽車有2班，那麼兩天中， 從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？
n=3×2=6
提示：如何正確使用這兩個基本原理呢？
確定事件一步到位分類各類方法相互獨立種數相加
確定事件分步完成分步各個步驟相互依存種數相乘
分類計數原理（加法原理）：
做一件事情，完成它可以有n類辦法,
在第1類辦法中有種不同的方法,
在第2類辦法中有種不同的方法，……，
在第n類辦法中有種不同的方法。
那麼完成這件事共有種不同的方法
分步計數原理（乘法原理）：
做一件事情，完成它需要分成n個步驟，
做第1步有種不同的方法，
做第2步有種不同的方法，……，
做第n步有種不同的方法，
那麼完成這件事有種不同的方法。
例題解析
例 1、書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書。
（1）從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？
（2）從書架的第1、2、3層各取一本書，有多少種不同的取法？
解：（1） 事件：取一本書，有三類辦法：
第一類從第1層取一本計算機書，共4種不同方法；
第二類從第2層取一本文藝書，共3種不同方法；
第三類從第3層取一本體育書，共2種不同方法；
由分類計數原理得 n = 4+3+2 = 9種不同的方法。
解：（2）事件：從三層書架上各取一本書，分三步完成：
第1步從第1層取一本計算機書，共4種不同方法；
第2步從第2層取一本文藝書，共3種不同方法；
第3步從第3層取一本體育書，共2種不同方法；
由分步計數原理得 n = 4×3×2 = 24種不同的方法。
課堂練習1
1、填空：
（1）一件工作可以用2種方法完成，有5人會用第一種方法完成，另有4人會用第二種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同的選法個數是
（2）從a村去b村的道路有3條，從b村去c村的道路有2條，從a村經b村去c村，不同走法的種數是
（3）乙個禮堂有4個門，若從乙個門進，然後從乙個門出，共有種不同走法；
（4）乙個禮堂有4個門，若從乙個門進，然後從另乙個門出，共有種不同走法。
例 1、書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書。
（1）從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？
（2）從書架的第1、2、3層各取一本書，有多少種不同的取法？
變題1：從書架上取2本不同的書，有多少種不同的取法？
變題2：從這書架上取2本不同種類的書，有多少種不同取法？
提示：對於有些較「複雜」的問題，往往不是單純的「分類」、「分步」就可解決的，而往往將兩者結合使用，一般是先「分類」，再在每一類中進行「分步」。
解：事件：取兩本不同種類的書，有三類辦法：
第一類取1本計算機書，再取1本文藝書，共4×3 種不同方法；
第二類取1本計算機書，再取1本體育書，共4×2 種不同方法；
第三類取1本文藝書，再取1本體育書，共3×2 種不同方法。
由加法原理n = 4×3 + 4×2 + 3×2 = 26 種不同取法。
答：從書架上取2本不同種類的書，共26種不同方法。
例2 、要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？
解：事件：選2名工人分別上日班和晚班，分兩步完成：
第一步選擇1人上日班，有3種選擇；
第二步選擇1人上晚班，有2種選擇。
由乘法原理 n=3×2=6 種不同方法。
注意：在運用兩個基本原理處理具體應用題時，除要弄清是「分類」還是「分步」外，還要搞清楚「分類」或「分步」的具體標準。在 「分類」或「分步」過程中，標準必須一致,才能保證不重、不遺漏。
課堂練習2
1、從5位同學中產生1名組長、1名副組長，有_________種不同的選法。
2、從互不相同的數學書8本，物理書6本，化學書4本中任取不是同學科的書2本，不同的取法有（ ）種。
a、98 b、102 c、104 d、108。
3、從集合｛1，2，3｝和｛1，4，5，6｝中各取1個元素作為點的座標，則在直角座標系中能確定不同點的個數是（ ）。
a、12 b、11 c、24 d、23。
課堂小結
1、這兩個原理是用來幹什麼的？
用來研究完成一件事情的方法種數。
2、這兩個原理應該怎樣區別和使用？（回顧提示）
確定事件一步到位分類各類方法相互獨立種數相加
確定事件分步完成分步各個步驟相互依存種數相乘
3、應用兩個原理要注意的地方：
（1）加法原理中的「分類」要全面，不能遺漏； 但也不能重複交叉；「類」與「類」之間是並列的、互斥的、獨立的。
（2）乘法原理中的「分步」程式要正確。「步」與「步」之間是連續的，不間斷的，缺一不可；但也不能重複、交叉。
描述分類計數原理和分步計數原理的詩：
兩大原理妙無窮，解題應用各不同；
多思慎密最重要，茫茫數理此中求。
課堂練習3
（1）4名同學分別報名參加學校的足球隊、籃球隊和桌球隊，每人限報其中的1個運動隊，不同報名方法的種數是還是？
（2）3個班分別從5個風景點中選擇1處遊覽，不同選法的種數是還是？
作業：課本97頁習題10.1的題1、2、3、4。
課後思考題
如圖,一螞蟻沿著長方體的稜,從它的乙個頂點爬到相對的另乙個頂點的最近路線共有多少條？
分類計數原理和分步計數原理練習題
1 乙個學生從3本不同的科技書 4本不同的文藝書 5本不同的外語書中任選一本閱讀，不同的選法有 種。2 乙個桌球隊裡有男隊員5人，女隊員4人，從中選出男 女隊員各一名組成混合雙打，共有 種不同的選法。3 一商場有3個大門，商場內有2個樓梯，顧客從商場外到二樓的走法有 種。4 在一次讀書活動中，有5本...
分類加法計數原理和分步乘法計數原理教學設計
第一課時 豐城第九中學陳佩 一 教材分析 1 教材地位 本節課是高中數學北師大版選修2 3第一章計數原理中1.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理的第一課時。先說本章及本節的教材地位。計數問題是數學中的重要研究物件之一，也是人們了解客觀世界的一種最基本的方法。分類加法計數原理和分步乘法計數原理是人們...
1 1分類加法計數原理與分步乘法計數原理
問題解決 評價單 設計司俊華審核 高二數學組編寫 2月25日使用 月日 班級組名姓名 一 學習目標 創設情境呈現目標 1 3分鐘 1.歸納得出分類加法計數原理和分步乘法計數原理，能應用它們解決簡單的實際問題 2.正確地理解 完成一件事情 的含義 3.根據實際問題的特徵，正確地區分 分類 或 分步 重...