北京四中
撰稿：萬元春編審：趙菁責編：辛文公升
分類計數原理、分步計數原理
授課重點：分類計數原理，分步計數原理的不同以及它們的應用。
授課難點：
1．解決學生思考過程中對加法，分步計數原理理解產生的誤區。
2．幫助學生找到「重」，「漏」產生的原因。
一、概念與規律
1．分類計數原理：做一件事，完成它可以有n類辦法。在第一類辦法中有m1種不同方法，在第二類辦法中m2種不同的方法，……，第n類辦法中有mn種不同方法。
那麼完成這件事共有n=m1+m2+……+mn種不同的方法。
2．分步計數原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法。那麼完成這件事共有n=m1·m2·……mn種不同的方法。
3．分類計數原理和分步計數原理的共同點是，它們都是研究完成一件事情，共有多少種不同的方法；不同點在於完成一件事情的方式不同，分類計數原理是在「分類完成」，即任何一類辦法中任何一種方法都能獨立完成這種事。分步計數原理是在「分步完成」，即這些方法需要分步，各個步驟順次相依，且每一步都完成了，才能完成這件事情。
二、例題講解
例1．乙個口袋內裝有5個小球，另乙個口袋裝有4個小球，所有這些小球的顏色互不相同。
（1）從兩個口袋內任取1個小球，有多少種不同的取法？
（2）從兩個口袋內各取1個小球，有多少種不同的取法。
解：（1）從兩個口袋中任取乙個小球，有兩類辦法：第一類辦法是從第乙個口袋內任取1個小球，從5個小球中任取1個，有5種方法；第二類辦法是從第二個口袋內任取1個，有4種方法，根據分類計數原理，得到不同的取法的種數是n=m1+m2=5+4=9(種)。
（2）從兩個口袋內各取1個小球，可以分成兩個步驟來完成：第一步從第乙個口袋內取1個小球，有5種方法；第二步在第二個口袋內取1個小球，有4種方法。根據分步計數原理，得到不同的取法種數是n=m1×m2=5×4=20(種)。
即：從兩個口袋內任取1個小球，有9種不同的取法；從兩個口袋內各取1個小球，有20種不同取法。
點評：在用兩個原理解決問題時，一定要分清完成這件事，是有n類辦法還是需分成n個步驟。應用分類計數原理必須要求各類的每一種方法都保證了完成這件事；應用分步計數原理則是需各步均是完成這件事必須經由的若干彼此獨立的步驟。
解題時分清用分類計數原理還是分步計數原理的關鍵在於「分類完成」還是「分步完成」。
例2．用0，1，2，3，4這五個數字。（1）組成比1000小的正整數有多少種不同的方法？
（2）組成無重複數字的三位偶數有多少種不同的方法。
解：（1）解法一（直接法）：
據題意，比1000小的正整數可以是一位數，兩位或三位數三類。
一位數的取法，從1，2，3，4中任取乙個，即有4種。
兩位數：十位從1，2，3，4中任取乙個，有4種取法，接著取個位從0，1，2，3，4中任取乙個有5種取法，即4×5=20種。
三位數：百位從1，2，3，4中取，有4種取法，個位，十位都可以從0，1，2，3，4中任取乙個，各有5種取法， 即三位數有4×5×5=100（種）。
∴ 共有4+20+100=124（種）不同的方法。
解法二（間接法）：
首先從0，1，2，3，4中任取乙個數字分別作為百位，十位，個位，則有5×5×5=125（種）取法。
又 ∵ 百，十，個位都取0時，得到的不是正整數，則應有125-1=124（種）不同取法。
（2）解法一：
要組成無重複數字的三位偶數，個位只能取0，2，4，百位不能取0，所以我們可以先從個數看起。
個百十個位取0時 1×4×3=12（種）
個位取2或4時 2×3×3=18（種）
∴ 共有12+18=30（種）。
解法二：
從百位看起：
百個十百位取1或3時 2×3×3=18（種）
百位取2或4時 2×2×3=12（種）
∴ 共有18+12=30（種）。
解法三：
先不考慮偶數的要求，則可組成無重複數字的三位數有：
百十個4×4×3=48（種）。
減去三位奇數： 個百十
個位從1或3中取 2×3×3=18（種）
∴ 共有48-18=30（種）。
解法四：
由題意：百位不可以取0，則可以從0這個特殊元素入手，分為三類：個位取0，十位取0或三個數字都不取0。
個百十則個位取0 1×4×3=12
十個百十位取0 1×2×3=6
個百十不選0，個位選2或4 2×3×2=12
∴ 共有12+6+12=30（種）。
點評：在具體分類或分步時，要分析題目的要求，對元素（本題中0，1，2，3，4這些數字）和位置（百、十、個位）的特殊性進行識別，得到0，2，4為特殊元素（以下簡稱特元），百，個位為特位。在逐步分類，分步時，優先考慮特元，特位，如（2）中解法1，2，3先考慮百，個的特殊要求，即從特位入手；解法四從0出發，即特元出發進行分類。
三、課外練習：
1．在所有兩位數中，個位數字大於十位數字的兩位數共有多少個？
解法一：按個數數字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，則共有1+2+3+……+8=36個。
解法二：按十位數字是1，2，3，4，5，6，7，8，分成8 類，在每一類中滿足條件的兩位數分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個，則共有8+7+6……+1=36（個）。
答：（略）。
2．五封不同的信投入四個郵筒
（1）隨便投完五封信，有多少種不同投法？
（2）每個郵筒中至少要有一封信，有多少種不同投法？
解：（1）對每封信來說，有4種投法，分五步把這些信都投完，則共有4×4×4×4×4=45（種）投法。
（2）先選出一封信不投，另外4封往四個筒裡各投一封，再把剩下的信投入任意乙個筒內，這樣會使每種投法重複了一次。而5封中選一封，有5種選法。
剩下四封往四個筒裡各投一封，有4×3×2×1種投法。再把剩下一封信投完，有4種投法。
都重複了一次，以上數相乘再除以2。即：=240（種）。
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10.1分類計數原理和分步計數原理 松四中趙芹 教學目標 1.了解學習本章的意義，激發學生的興趣 2.理解分類計數原理和分步計數原理，培養學生歸納概括的能力 3.會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應用問題 教學重點 理解分類計數原理和分步計數原理，培養學生歸納概括的能力 教學難點 會利用兩個原理分析...
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