肖凌戇（廣東省廣州市黃埔區教育局教研室 510700）
（本文已發表在《中國數學教育》2023年第12期，13-15）
在現行高中數學教學中，大搞「題海戰術」，追求「熟能生巧」，「三年課程兩年完，留下一年搞訓練」，是不爭的事實．「教得辛苦，學得痛苦」是高中數學教育的現狀.「題海戰術」盛行，說明課堂教學效率較低．要克服「題海戰術」頑疾，就必須提高課堂教學效率．高中數學新課程教學內容不斷增加,而教學課時卻在減少.要解決新課程教學時間偏緊的問題，迫切需要提公升實踐中的數學教學效率．在新課程背景下，實施高中數學有效教學具有重要的現實意義．（未用）
1．什麼是「有效教學」
有效教學是一種現代教學理念[1]．要理解「有效教學」，就必須回答「什麼是教學」、「什麼樣的教學是有效的」．
所謂「教學」，是指教師引起、維持或促進學生學習的所有行為，是師生互動交往的活動．從教學行為來看，它包括三個方面：一是激發學生的學習動機，教學是在學生「想學」的基礎上展開的；二是指明學習目標與學習內容，即教師要讓學生知道學到什麼程度以及學什麼，學生只有知道了自己學什麼或學到什麼程度，才會有意識地主動參與；三是採用易於學生接受與理解的教與學的方式．從教學過程來看，教學的本質是交往，交往就意味著教學過程就是平等對話、師生互動、合作交流的過程．也就是說，教學要以學生發展為本，課堂教學不能採用簡單的灌輸方法，把學生當作接受知識的容器，讓學生被動接受知識．
所謂「有效」，是指教學活動有成效，課堂教學能促進學生發展，能達成教學目標，保證較高的教學效率和教學效益．它包括兩個基本要素：一是有效率，二是有效益．
教學效率從過程上看，主要是指時間，我們要重視時間的充分利用．教學效率從結果上看，主要指學習效果，我們要追求教學的綜合效果．美國著名教育心理學家布魯姆指出：學習結果包括「成績的水平、學習的速度和情感的結果」[2]．因此，綜合效果應包括認知成績、學習速度、情感發展等方面．教學效率包含時間和效果兩個維度，若用確定的數學關係式表示的話，則有教學效率＝．
教學效益是教學活動的效果和收益，體現教學的價值追求，是對教學結果與預期目標的吻合程度的評價．但教學效益難以量化，宜根據學生所獲得的進步或發展，採用定性評價．經過一段時間的教學後，學生有無進步或發展是教學有沒有效益的主要指標．
基於以上認識，筆者認為：（本人認為）有效教學是指教師在以學生發展為本的教育思想指引下，通過選擇有效的教學策略，達成預期的教學目標，追求較高的教學效率和效益的教學活動．
2．高中數學「有效教學」的主要特徵
筆者認為：（刪掉）「有效教學」是高中數學「有效教學」的上位概念，高中數學「有效教學」既要具有高中數學教學的特點，又要踐行「有效教學」的理念．
在高中新課程背景下，高中數學「有效教學」的主要特徵是什麼？通過文獻分析與實踐反思，筆者認為，（本人認為）有以下主要特徵：
2.1目的性——促進學生發展
目的性，是指數學教學要有明確的教學目標．教學目標是實施有效教學的依據,教學目標有效，是高中數學有效教學的乙個基本特徵．
促進學生發展是高中數學教學的基本目標．「數學教育在學校教育中占有特殊的地位，它使學生掌握數學的基礎知識、基本技能、基本思想，使學生表達清晰、思考有條理，使學生具有實事求是的態度、鍥而不捨的精神，使學生學會用數學的思考方式解決問題、認識世界．」[3]學生的發展不僅僅限於認知方面的發展，而是學生全面和諧發展．在數學教學中，學生的全面和諧發展是學生的主體性發展和個性發展，是學生在數學知識、數學能力、情感態度和價值觀上的全面提高與和諧發展．為了滿足學生全面和諧發展的要求，新課程從知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀等三個方面提出教學目標（簡稱「三維目標」）．
具體到一堂課的教學目標是否都按照「三維目標」來制定，值得商榷．章建躍認為課堂教學目標應當強調「準確」「具體」「有用」.[4]
2.2有效性——追求「高效率、輕負擔」
有效性，是指通過教學能確保達成教學目標，保證課堂教學的效率和效益．有效性是高中數學有效教學的顯著特徵．
有效教學是提高教學效率的活動．
「教學效率從兩個維度來認識．在學生的時間投入方面，指能夠充分利用時間，全身心、積極、主動地參與數學學習．在數學教學結果方面，指多方面的學習效果——認知成績、理性精神、效率意識、良好認知結構和數學學習能力．同樣的學習結果，學生用時間較少，則教學效率高；同樣的學習時間，學習效果好而且多樣，則教學效率高．」 [5]這裡的要點有兩個方面：一是時間的充分利用，有效教學要有時間意識．時間是最為珍貴的教育資源，對於學生來說，每個人的青春只有一次，如果我們的數學教學浪費了學生的時間，不能有效地指導學生學會學習，充分、高效地利用時間，那麼將造成最大的浪費．二是綜合效果，有效教學要有發展意識．「數學教育問題說到底是如何以數學育人的問題」，數學教育所追求的終極目標並不是單位時間內所獲得的數學知識的多少，而是學生的和諧發展．因此，在數學教學中，既要強調珍惜時間，又要從學生發展的整體要求出發，追求數學教學的綜合效果．
有效教學是追求教學效益的活動．
有效教學的核心問題是課堂教學效益問題，其實質是課堂教學質量．教學效益與教學效率緊密相關．從某種意義上講，教學效率是對教學價值的量化評價，教學效益是對數學教學價值的綜合評價；提高課堂教學效率講究方式方法，追求課堂教學效益凸顯人文關懷．數學有效教學要有質量意識．在數學教學中，我們要樹立一種既掌握數學知識、形成數學能力，又促進學生成長的質量意識．教學質量的高低取決於學生參與學習活動的程度．在數學教學中，既要強調學生的思維參與，也要注重學生的情感參與；既要掌握基礎知識、基本技能、基本方法，又要形成情感態度和價值觀．數學教學效益在數學知識形成過程中動態生成，在學生可持續發展能力的培養中凸現．
（3）有效教學是關注學生成長的活動．
「高效率、輕負擔」是有效教學追求的教學境界．數學有效教學要降低「心理成本」．「心理成本」是指在數學教學過程中師生認知活動的強度、情感投入的強度等．數學教學活動主要是師生的心理活動，學生成長也主要是一種心理成長．因此，數學教學中的這種「心理成本」直接決定著教學效率的高低．現行的「三年課程兩年完，留下一年搞訓練」的做法，大大增加了「心理成本」；從高一開始的，高密度的「月考」「模擬考」及沒完沒了的「解題訓練」，是高中生數學課業負擔加重的主要根源．這種在應試教育下形成的「拼時間、拼精力」的「題海戰術」，是低效教學，必須徹底摒棄！數學教學要關注學生成長、促進學生發展．學生的發展是指個體在原有基礎上的變化與提高，是個性發展，教學中要真正體現「不同人在數學上得到不同的發展」．
2.3思想性——學會數學思考
思想性，是指數學教學要重視數學思想方法的教學．數學是思維的科學,數學教學最重要的是要使學生學會數學地思維．因此，思想性是數學有效教學的重要特徵．
數學思想方法是一種「隱性知識」,是數學的靈魂．數學思想方法是對數學物件的本質認識，是對數學知識進一步提煉、概括而形成的．數學概念和數學方法都是外顯的，而數學思想則是內隱的，蘊涵在數學概念和數學方法之中，數學概念、原理以及數學思想和數學方法共同組成了數學的知識體系．
數學思想方法的教學要講究教學策略．章建躍認為，有序性策略、過程性策略和變式策略是數學思想方法教學的常用策略[6].
3.提高數學課堂教學有效性的具體策略
3.1面向全體
素質教育的核心任務是使每乙個學生的身心都得到全面和諧的發展．這就要求數學教師要正視學生知識水平的差異性和認知能力的差異性，在教學中注重因材施教，使每個學生都得到適合自己的數學知識，提高數學能力．為此，教學中可採用「低起點、多層次、勤交流、常總結」的方法．
（1）低起點．適當降低教學起點，課堂上盡量使絕大多數學生都能輕鬆的學習．為此教師要關注學生已有知識水平，關注學生思維的最近發展區．
案例1．兩點間的距離公式的建立
教學時，設計如下問題可體現「低起點」要求．
①在平面直角座標系中，已知，如何求間的距離？
②在平面直角座標系中，已知，如何求的距離？
③在平面直角座標系中，已知，如何求的距離？
（2）多層次．降低起點，降低難度，但不能降低要求．對於較難的數學問題，在設計教學過程時要注意由淺入深，對於較淺的典型問題要注意引申推廣．
（3）勤交流．數學學習是以學生為主體的交流過程，要引導學生積極參與數學知識的形成過程，倡導學生合作交流．
（4）常總結．良好的總結能力有助於學生知識的掌握和思想方法的體驗．因此，教師在每節課上都要引導學生小結，在每乙個單元教學任務完成後也要組織學生進行總結．經常總結歸納，有利於完善學生的認知結構．
3.2問題驅動
「做數學」是學好數學的有效途徑．數學學習要解決「問題」，課後練習是演練「問題」，數學考試是回答「問題」．因此，問題是貫穿數學教學活動的一條主線，是學生開展數學學習的驅動力之一．中國數學雙基教學的經驗表明，乙個基本概念或基本技能的形成需要有一定程度的重複，重複經過變式得以發展[7] ．這裡的變式也是用問題來驅動的，變式問題為數學學習提供了認知台階．不斷變化的問題，為學生提供了合適的變異空間，有助於多角度地理解概念的本質和建立實質性聯絡；循序漸進地解決一系列的變式問題，有利於形成比較系統的數學知識模組．因此，問題驅動是開展有效教學的一種重要策略．
教學中如何運用問題驅動呢？筆者認為，可從設計有效「問題」入手，用問題導引學習．
本文中的「問題」，即數學問題．數學問題指學生個體與已有認知產生矛盾衝突，還不能理解或者不能正確解答的數學結構．有效的「問題」，至少要具備下列特徵之一．
第一，目的性:問題要有意義，針對一定的教學目標，能反映當前學習內容的本質．
第二，直觀性:問題直觀而符合學科特點，學生通過直觀感知，能領悟數學本質．
第三，適度性:問題的難易程度要適合學生的現有發展水平，「跳一跳，夠得到」．
第四，開放性:問題入手較易，開放性強，**空間較大，有助於學生創新思維．
第五，體驗性:問題能提供數學學習的體驗，有助於發展學生的問題意識和**意識．
案例2．餘弦定理的發現與證明
餘弦定理的發現與證明是教學的乙個重點和難點，學生已有知識主要包括正弦定理、平面向量的數量積、三角函式的定義及座標法的初步知識等．下面是筆者設計：
問題1．正弦定理給出了三角形邊角的數量關係，正弦定理是怎樣證明的？正弦定理可以解決哪些型別的解三角形問題？
問題2．在三角形中已知兩邊及夾角，怎樣求第三邊？
問題3．在中，角、、的對邊分別記為，
（ⅰ）若，則
（ⅱ）若，則
（ⅲ）若，則
問題4．一般地，在中，已知、和．怎樣求？
問題5．你發現了什麼結論？你能用文字語言與符號語言表述你的發現嗎？能給出證明嗎？
高中數學「有效教學」的幾點思考
肖凌戇 廣東省廣州市黃埔區教育局教研室 510700 本文已發表在 中國數學教育 2007年第12期，13 15 在現行高中數學教學中，大搞 題海戰術 追求 熟能生巧 三年課程兩年完，留下一年搞訓練 是不爭的事實 教得辛苦，學得痛苦 是高中數學教育的現狀.題海戰術 盛行，說明課堂教學效率較低 要克服...
高中數學教學的幾點總結
課堂教學是實施高中新課程教學的主要陣地，也是對學生進行思想品德教育和素質教育的主要途徑。課堂教學不但要加強雙基 提高和發展學生的智力，而且要培養學生的創造力 不但要讓學生掌握課本知識，而且要讓學生掌握學習的方法。尤其是在課堂上，不但要發展學生的智力因素，而且要提高學生在課堂上的學習效率，在有限的時間...
高中數學教學的幾點反思
作者 代強 南北橋 2017年第19期 摘要 高中數學是乙個師生互動的過程，不僅是要讓教師 教 的作用得以發揮，也需要讓學生 學 的作用得以發揮，同時做到數學知識和數學思維並重的教學培養模式，以便令高中數學的教學水平獲得有效地提高，使學生的整體素質能夠得到更為有效地提公升。關鍵詞 高中數學數學教學教...