（1）證明：rt△abm ∽rt△mcn；
（2）設bm=x，梯形abcn的面積為y，求y與x之間的函式關係式；當m點運動到什麼位置時，四邊形abcn的面積最大，並求出最大面積；
（3）當m點運動到什麼位置時rt△abm ∽rt△amn，
求此時x的值.
1111111111111111解：（1）由拋物線c1：得
頂點p的為（-2，-5）∵點b（1，0）在拋物線c1上∴
解得，a＝ （2）連線pm，作ph⊥x軸於h，作mg⊥x軸於g
∵點p、m關於點b成中心對稱∴pm過點b，且pb＝mb
∴△pbh≌△mbg∴mg＝ph＝5，bg＝bh＝3
∴頂點m的座標為（4，5）
拋物線c2由c1關於x軸對稱得到，拋物線c3由c2平移得到
∴拋物線c3的表示式為
（3）∵拋物線c4由c1繞點x軸上的點q旋轉180°得到∴頂點n、p關於點q成中心對稱
由（2）得點n的縱座標為5
設點n座標為（m，59分
作ph⊥x軸於h，作ng⊥x軸於g
作pk⊥ng於k
∵旋轉中心q在x軸上
∴ef＝ab＝2bh＝6
∴fg＝3，點f座標為（m+3，0）
h座標為（2，0），k座標為（m，-5），
根據勾股定理得
pn2＝nk2+pk2＝m2+4m+104
pf2＝ph2+hf2＝m2+10m+50
nf2＝52+32＝3410分
①當∠pnf＝90時，pn2+ nf2＝pf2，解得m＝，∴q點座標為（，0）
②當∠pfn＝90時，pf2+ nf2＝pn2，解得m＝，∴q點座標為（，0）
③∵pn＞nk＝10＞nf，∴∠npf≠90綜上所得，當q點座標為（，0）或（，0）時，以點p、n、f為頂點的三角形是直角三角形13分
222222222222解：（1）（1，0）點p運動速度每秒鐘1個單位長度．
（2） 過點作bf⊥y軸於點，⊥軸於點，則＝8，．
∴．在rt△afb中，
過點作⊥軸於點，與的延長線交於點．
∵∴△abf≌△bch．
∴． ∴．
∴所求c點的座標為（14，12）．
（3） 過點p作pm⊥y軸於點m，pn⊥軸於點n，則△apm∽△abf．
設△opq的面積為（平方單位）∴（0≤≤10）
∵<0 ∴當時， △opq的面積最大．此時p的座標為（，） ．
（4） 當或時， op與pq相等．
333333333解：（1）（2）∵，∴點的橫座標為，①當，即時，，
∴．②當時，，∴．
∴當，即時，，
∴當時，有最大值．（3）由，所以是等腰直角三角形，若在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，所以，又軸，則，兩點關於直線對稱，所以，得．下證．連，則四邊形是正方形．
法一：（i）當點**段上，**段上
（與不重合）時，如圖–1．
由對稱性，得，
∴， ∴．
（ii）當點**段的延長線上，**段上時，如圖–2，如圖–3
9分 （iii）當點與點重合時，顯然． 綜合（i）（ii）（iii），．
∴在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形． 11 分
法二：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，所以，又軸， 則，兩點關於直線對稱，所以，得． 延長與交於點． （i）如圖–4，當點**段上（與不重合）時，∵四邊形是正方形四邊形和四邊形都是矩形，和都是等腰直角三角形．∴．
又 ∴， ∴，
又∵，∴．
∴． （ii）當點與點重合時，顯然．
（iii）**段的延長線上時，如圖–5， ∵，∠1=∠2 ∴
綜合（i）（ii）（iii），． ∴在上存在點，是以為直角頂點的等腰直角三角形．
44444444444（1）證明：∵四邊形abcd是正方形，∴∠b=∠c=90°，∠abm+∠bam=90°
∵∠abm+∠cmn+∠amn=180°，∠amn=90°∴∠amb+∠cmn=90°∴∠bam=∠cmn∴rt△abm∽rt△mcn
（2）∵rt△abm∽rt△mcn，∴即解得：
∵ ∴,
即：又∵
∴當x=2時，y有最大值10.∴當m點運動到bc的中點時，四邊形abcn的面積最大，最大面積是10.
（3）∵rt△abm∽rt△mcn，∴，即
化簡得：，解得：x=2∴當m點運動到bc的中點時rt△abm ∽rt△amn，此時x的值為2.
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