南昌大學 2006～2007學年第二學期期末考試試卷一、 填空題(每空 3 分，共 15 分
1. 設，則當時,;
當時,.
2. 函式的間斷點是.
3. 設函式, 則 .
4. 設g是乙個單連通域,與在g內即有一階連續偏導數, 則曲線積分在g內與路徑無關的充要條件是.
二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 設直線方程為 l :, 平面方程為
, 若直線與平面平行,則 ( ).
(a) 充要條件是:.
(b) 充要條件是:.
(c) 充分但不必要條件是:
(d) 充分但不必要條件是:.
2．設是由方程所確定的隱函式, 則( ).
(ab) .
(cd) .
3．函式的極小值為 ( ).
(a) . (bcd) .
4．下列說法正確的是
(a) 若, 則級數必收斂.
(b) 若級數發散, 則必有.
(c) 若級數發散, 則.
(d) 若, 則級數必發散.
5．微分方程的通解是 ( ).
(ab) .
(cd).
三、求解下列各題 (共2小題, 每小題8分, 共16分)1．設一平面經過原點及點且與平
面垂直, 求此平面方程.
2．設而,且具有二階連續
偏導數,求.
四、求下列積分 (共2小題, 每小題8分, 共16分):
1、計算二重積分,其中是由圓周
所圍成的閉區域.
2、計算曲線積分, 其中
l是取圓周的正向閉曲線.
五、計算題 (共2小題, 每小題8分,共16分):
1、 利用高斯公式計算曲面積分,
其中是長方體：
整個表面的外側.
2、判別正項級數的斂散性.
六、解下列各題（共2小題. 每小題8分, 共16分）:
1、設冪級數.
(1). 求收斂半徑及收斂區間 .
(2). 求和函式.
2、求微分方程的通解
七、(6分) 求一曲線方程,這曲線通過原點,並且它在點處的切線斜率等於.
南昌大學 2006～2007學年第二學期期末考試試卷及答案一、 填空題(每空 3 分，共 15 分
1. 設，則當時,;
當時,.
2. 函式的間斷點
是.3. 設函式, 則 .
4. 設g是乙個單連通域,與在g內即有一階連續偏導數, 則曲線積分在g內與路徑無關的充要條件是.
二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 設直線方程為 l :, 平面方程為
, 若直線與平面平行,則 ( a ).
(a) 充要條件是:.
(b) 充要條件是:.
(c) 充分但不必要條件是:
(d) 充分但不必要條件是:.
2．設是由方程所確定的隱函式, 則( c ).
(ab) .
(cd) .
3．函式的極小值為 ( b ).
(a) . (bcd) .
4．下列說法正確的是 ( d ).
(a) 若, 則級數必收斂.
(b) 若級數發散, 則必有.
(c) 若級數發散, 則.
(d) 若, 則級數必發散.
5．微分方程的通解是 ( d ).
(ab) .
(cd).
三、求解下列各題 (共2小題, 每小題8分, 共16分)1．設一平面經過原點及點且與平
面垂直, 求此平面方程.
解法一: 所求平面的法向量
. 則
取 .
故所求平面方程為:.
解法二: 設所求平面法向量
則.於是有
解得由平面的點法式方程可知,所求平面方程為.將代入上式,並約去,便得：. 即為所求平面方程.
2．設而,且具有二階連續
偏導數,求. 解
四、求下列積分 (共2小題, 每小題8分, 共16分):
1、計算二重積分,其中是由圓周
所圍成的閉區域.
解2、計算曲線積分, 其中
l是取圓周的正向閉曲線.
解:由格林公式,有
原式五、計算題 (共2小題, 每小題8分,共16分):
1、 利用高斯公式計算曲面積分,
其中是長方體：
整個表面的外側.
解:則由高斯公式有
原式2、判別正項級數的斂散性.
解所以原級數收斂.
六、解下列各題（共2小題. 每小題8分, 共16分）:
1、設冪級數.
(1). 求收斂半徑及收斂區間 .
(2). 求和函式.
解: (1).
所以收斂半徑
當時, 發散;
當時, 發散.
所以收斂區間為
(2). 設和函式為:.
故2、求微分方程的通解.
解:不是特徵根,所以設特解為:.
則,代入原方程得
故通解為
七、(6分) 求一曲線方程,這曲線通過原點,並且它在點處的切線斜率等於.
解: 依題意
則把代入上式, 得.
故南昌大學 2007～2008學年第二學期期末考試試卷一、 填空題(每空 3 分，共 15 分)1. 設則_____.
2. 函式的
定義域是
3. 設函式, 則_______.
4. 交換累次積分的次序
5. 微分方程的通解為
二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 過點且與平面
平行的平面方程是
(ab).
(c) (d).
2．設, 而, 則( ).
(ab) .
(cd) .
3． 設可微函式在點取得極小值,
則下列結論正確的是
(a)在處的導數大於零.
(b)在處的導數等於零.
(c)在處的導數小於零. .
(d)在處的導數不存在.
4．設l為取正向的圓周, 則曲線積分之值為(a) . (bcd) .
5．函式關於的冪級數展開式為
(a)(b) .
(c) .
(d) .
三、求解下列各題 (共2小題, 每小題8分, 共16分)1．求與兩平面和的交線平行
且過點的直線方程.
2．設而,且具有二階連續偏導數,求.
四、求下列積分 (共2小題, 每小題8分, 共16分):
1、計算曲線積分, 其中
l 是由點沿上半圓周
到點的弧段.
2、利用高斯公式計算曲面積分,
其中為上半球面的上側。
五、解下列各題(共2小題, 每小題8分,共16分):
1、判定正項級數的斂散性
2、設冪級數.
(1). 求收斂半徑與收斂區間 ; (2). 求和函式.
六、計算題（共2小題. 每小題8分, 共16分）:
1、求微分方程的通解.
2、(應用題) 計算由平面和旋轉拋物面所圍成的立體的體積.
七、(6分) 已知連續可微函式滿足,
且能使曲線積分
與路徑無關, 求.
南昌大學 2007～2008學年第二學期期末考試試卷及答案一、 填空題(每空 3 分，共 15 分
1. 設
則.2. 函式的
定義域是.
3. 設函式, 則.
4. 交換累次積分的次序：
.5. 微分方程的通解為：
..二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 過點且與平面
平行的平面方程是( b ).
(ab).
(c) (d).
2．設, 而, 則( a ).
(ab) .
(cd) .
3． 設可微函式在點取得極小值,
則下列結論正確的是 ( b ).
(a)在處的導數大於零.
(b)在處的導數等於零.
(c)在處的導數小於零. .
(d)在處的導數不存在.
4．設l為取正向的圓周, 則曲線積分之值為 ( a ).
(a) . (bcd) .
5．函式關於的冪級數展開式為 ( d ).
(a)(b) .
(c) .
(d) .
三、求解下列各題 (共2小題, 每小題8分, 共16分)1．求與兩平面和的交線平行
且過點的直線方程.
解: 因為所求直線與兩平面的交線平行,也就是直線的解: 因為所求直線與兩平面的交線平行,也就是直線的方向向量與兩平面的法向量、都垂直.
所以取.
故所求直線方程為
2．設而,且具有二階連續偏導數,求：.解
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