2012高教社杯全國大學生數學建模競賽
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日期： 2012 年 7 月 15 日
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2012高教社杯全國大學生數學建模競賽
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摘要： 住宅小區的舒適度包含建築強度指標、人口居住指標、地理環境指標等各個方面，本文結合重慶師範大學師大苑這個例項，主要考慮採光、綠化、容積率以及周邊設施布局這四個方面來對住宅小區舒適度進行評價。
1.（採光）選取重慶秋分這一天作為研究點，通過模擬，以地面空間為立體座標系統，分為有無相鄰建築物阻擋兩種情況和建築受到太陽光運動角度變化產生的不同受光面積四個階段考慮。，忽略光強即熱效應對採光程度的影響，以此作為採光率對小區採光做出評判。
2.（綠化）從植被固碳釋氧、降溫增濕、滯塵殺菌三個方面，來評價小區綠化的效能。利用計算常用綠化植物光合作用的淨日同化量和葉面積指數，進而推算出常用綠化植物的淨日固碳量，結合主要植物的固碳釋氧量以及居民呼吸排放的二氧化碳量定量評價小區植被的釋氧能力，並給出四種綠地型別的植物配置優化結構作為參考改進；通過模擬分析，用焓變、熱能計算出植被降溫對空調負荷量降低的比重，側面描述出植被降溫增濕的能力；再通過資料分析得到植被還具有滯塵殺菌的功能。
3.（容積率）利用衛星圖分析並計算出師大苑各類別建築用地面積，進一步分析得到容積率、人口平均建築面積、人口平均綠地面積等指數。
4.（周邊環境）在對周邊環境的設施布局的規劃上，多是通過思維進行藝術創造的複雜過程，評價界限並不分明，無法用經典數學模型評判優劣，因此運用模糊數學理論給出了周邊環境的設施布局的綜合評價。
關鍵詞：採光率、固碳釋氧、空調負荷量、焓變、容積率、模糊數學
一、 問題重述：
乙個住宅小區就是乙個社會的縮影，是乙個「微型社會」。乙個完整的住宅小區是由住宅、公共服務設施、綠地、建築小品、道路交通設施、市政工程設施等實體和空間經過綜合規劃而形成的。並且隨著城鎮居民收入的提高，居民的住房條件也在不斷改善，2023年我國城市居民人均住宅建築面積達到24.
94平方公尺,與2023年相比增加了4.63平方公尺，因此，系統定量地描述出對住宅小區舒適度的評價在房產開發、提高居民生活水平以及推進城市化發展都有著巨大的作用。
居住小區作為城市最重要的組成單元，應注重住宅建築的採光率，提高綠地植被的固碳釋氧的效益，充分發揮綠地植被降溫增濕的、滯塵殺菌的能力，規劃小區的容積率和周邊設施布局，為小區綜合發展作出貢獻。本文從房屋採光、綠化效益（植被固碳釋氧、降溫增濕、滯塵殺菌）、容積率以及周邊設施布局這四個主要方面來設計評價體系。
二、模型的假設
1．忽略光強變化、熱能吸收對房屋採光面積的影響。
2．選取秋分這一天，假定太陽光為平行光，太陽運動軌跡平面與地面平面夾角恒為，以地面平面為座標平面，房屋地面的幾何中心為原點，以垂直地面向上為軸，建築物簡化為立方體只考慮四個側面的受光面積，分為五個階段按每一時刻分析有相鄰建築物阻擋的受光面積與無相鄰建築物阻擋的受光面積之比。
3.因日出時經過重慶的光線與赤道線的夾角小於弧度，因此可認為日出時太陽位於重慶的正東方。
4.假定小區植被的平均固碳能力為一般植物的光合作用固碳量，植物晚上暗呼吸消耗量按照白天同化量的計算。用植物日淨固碳量、葉面積指數來評價植被固碳釋氧的空氣淨化能力。
5.用葉面積指數來定義綠量，用點觸法計算葉面積指數時，當天頂角為時,假設葉片隨機分布和葉傾角橢圓分布 ,則冠層葉片的傾角對消光係數的影響最小,此時採用傾角刺入冠層。
6.對周邊設施布局只考慮四個方面的權重比較。
三．符號說明
1. 房屋朝向南偏西角度
2. 為可受到光照的牆面的整面牆面面積
3. 為房屋長
4. 為房屋寬
5. 為房屋高
6. 、、、、 為秋分這一天的時刻
7. 為時間段內，光線與樓角的平面角度
8. 為時間段內，光線與樓頂形成的角度
9. 為時間段內，受到光照的房屋面積之和
10. 為太陽運動角速度
11. 太陽運動軌跡半徑
12. 為日出到計算點的太陽公升起時間
13. 分別為平面模擬時太陽的座標
14. , , 分別為太陽投影到地面上座標系上的向量
15. 為單位面積的日同化量，單位為
16. 為初測點瞬時光合速率，為下一測點的淨光合速率，單位為
17. 為初測試點，為下一測定時間，單位為
18. 為單位葉面積的淨日固碳量, 單位為
19. 的摩爾質量為44，單位
20. 為葉面積指數，單位為
21. 為單位綠地面積固碳量，單位為
22. 為探針接觸到的葉片數
23. 為投影函式，為天頂角
24. 為室內空調冷負荷，是新風冷負荷，是室內冷負荷
25. 為新風量，單位為
26. 和分別為室外和室內空氣的焓，單位為
27. 為與建築物功能相關的係數
28. 表示總建築面積，是指建築範圍內單棟或多棟建築物地面以上以及地面一下各層建築面積的總和
29. 表示總占地面積
四．問題分析
1.採光分析
選取重慶秋分這一天作為研究點，將一棟住宅樓簡化為立方體，，忽略光強即熱效應對採光程度的影響，以此及彼推算出整個小區住宅樓的採光率。
對於太陽光，假定其為平行光，分為四個時間階段考慮住宅小區的受光面積。
2.綠化分析
從固碳釋氧、降溫增濕、滯塵殺菌三個方面來分析綠化。一般植物經過白天的光合作用後光和固碳量大於呼吸作用的消耗的碳量，植物整體表現為固碳釋氧作用，分析不同植被型別、不同植物型別的固碳釋氧能力，結合小區綠地面積和小區居民人口數計算出本小區的綠地釋氧能力。用在有無植被的情況下空調負荷熱量的比值來定量描述植被的降溫作用，選取對照組實驗測得一天內濕度的變化規律得出植被具有增濕的作用。
通過對植物特性的調查得出植被還具有滯塵殺菌的作用。
3.容積率分析
小區的容積率是總建築面積之和與占地面積之比，容積率用來描述該住宅建設的土地使用效率。當然，容積率也不是越大越好，高層建築會帶來的光化學汙染，而如果容積率過低會降低土地的使用效率，增加住房困難。
4.周邊設施布局分析
小區住宅的周邊設施布局也是衡量乙個小區舒適便捷程度的乙個方面，對小區的公共服務設施用地、教育用地、交通用地、戶外活動用地四種用地規劃進行模糊評價，分析出合理的配置。
五．模型建立
1.模型一：
1.1建築物受光面積模型
ⅰ.圖為建築朝向，如圖，可以看出房屋朝向為南偏西，偏角為α.
圖為建築不受周圍建築及環境影響的情況:
因日出時經過重慶的光線與赤道線的夾角小於10-5弧度，因此可認為日出時太陽位於重慶的正東方。
一天時間內，此建築物的光照情況可分為三種：
(1) 圖中的i部分，此段時間內，右側和背面牆面可享受光照。
(2) 圖中的ii部分，此段時間內，右側和前面牆面可享受到光照。
(3) 圖中的iii部分，此段時間內，前面和左側牆面可享受到光照。
因此，可得出函式：
綜上：ⅱ.下圖為建築物受周圍建築影響的情況。
可分為四種情況：
(1)(2)(3)(4)(1) 根據可計算出陰影部分的面積，是乙個關於的函式，如下：
(2) 同ⅰ可求得情況下，的函式。
(3) 左圖為情況ⅲ，由圖中資訊可知，在t2~t3時間中，建築物將不會受到附近建築的影響，即在此時間段裡，建築物的右側面和前面都能
夠一直享受陽光
的照射。
因此，有：
(4) 因為所研究的小區朝向為南偏西220左右，不滿足對稱性，因此繼續推導出s4的函式形式
ⅳ．根據上述圖形及β、γ的情況，可計算出t1、t2、t3的時間點。
1.2.太陽軌跡模型
ⅰ.左圖為太陽執行軌跡圖如圖，以赤道為原點，作立體圖。太陽的執行軌跡是乙個圓，其軌跡直徑與地球赤道重合，而軌跡平面與座標平面形成乙個夾角。在秋分這天：
[2]ⅱ.先模擬太陽在它的軌跡上執行時，橫縱座標與時間關係。
如圖，在12小時時間內，太陽走過乙個半圓，即的弧度
所以角速度 (弧度/分鐘)
太陽軌跡半徑為，因此有：
ⅲ.在上述建立的座標系中，則太陽的位置關係為：
2.模型二：
2.1固碳釋氧模型
（1）植物固碳原理
根據光合作用原理，綠色植物白天在陽光照射下，葉片中的葉綠素吸收大氣中的二氧化碳和土壤中的水分，合成碳水化合物，同時放出氧氣。呼吸作用過程則相反，吸收氧氣，放出二氧化碳。一般植物光合固碳量大於呼吸消耗的碳量，植物整體表現為固碳釋氧作用。
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