第一章曲線論
§2 向量函式
5. 向量函式具有固定方向的充要條件是× =。
分析：乙個向量函式一般可以寫成=的形式，其中為單位向量函式，為數量函式，那麼具有固定方向的充要條件是具有固定方向，即為常向量，（因為的長度固定）。
證對於向量函式，設為其單位向量，則=，若具有固定方向，則為常向量，那麼=，所以×=（×）=。
反之，若×= ，對= 求微商得=+，於是×=（×）=，則有 = 0 或×= 。當= 0時， =可與任意方向平行；當0時，有×=，而（×=-(·＝，（因為具有固定長，·= 0） ，所以 =，即為常向量。所以，具有固定方向。
6．向量函式平行於固定平面的充要條件是（）=0 。
分析：向量函式平行於固定平面的充要條件是存在乙個定向向量，使·= 0 ，所以我們要尋求這個向量及與，的關係。
證若平行於一固定平面π，設是平面π的乙個單位法向量，則為常向量，且·= 0 。兩次求微商得·= 0 ，·= 0 ，即向量，，垂直於同一非零向量，因而共面，即（）=0 。
反之, 若（）=0，則有×= 或×。若×=，由上題知具有固定方向，自然平行於一固定平面，若×，則存在數量函式、，使= + ①
令=×，則，且⊥。對=×求微商並將①式代入得=×=（×）=，於是×=，由上題知有固定方向，而⊥，即平行於固定平面。
§3 曲線的概念
1． 求圓柱螺線=， =， =在（1,0,0）的切線和法平面。
解令=1, =0, =0得=0, (0)=| =,曲線在(0,1,1)的切線為 ，法平面為 y + z = 0 。
2． 求三次曲線在點的切線和法平面。
解 ，切線為，
法平面為 。
3. 證明圓柱螺線= ()的切線和z軸作固定角。
證明 = ,設切線與z軸夾角為,則=為常數，故為定角（其中為z軸的單位向量）。
4. 求懸鏈線=（-）從=0起計算的弧長。
解 = 化為自然引數表示。
解 = ，s =，所以，
代入原方程得 =
11.求用極座標方程給出的曲線的弧長表示式。
解由，知從到的曲線的弧長是s= 。
§4 空間曲線
1．求圓柱螺線=a， =a， = b在任意點的密切平面的方程。
解 =,=
所以曲線在任意點的密切平面的方程為
= 0 ，即(b)x-(b)y+az-abt=0 .
2. 求曲線= 在原點的密切平面、法平面、從切面、切線、主法線、副法線。
解原點對應t=0 , (0)=，
， 所以切線方程是 ，法面方程是 y + z = 0 ；
密切平面方程是=0 ，即x+y-z=0 ，
主法線的方程是即；
從切面方程是2x-y+z=0 ,副法線方程式。
3．證明圓柱螺線=a， =a， = b的主法線和z軸垂直相交。
證 =, = ，由⊥知為主法線的方向向量，而所以主法線與z軸垂直；主法線方程是
與z軸有公共點(o,o,bt)。故圓柱螺線的主法線和z軸垂直相交。
4.在曲線x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法線的正向取單位長，求其端點組成的新曲線的密切平面。
解 = , =
新曲線的方程為=
對於新曲線== , = ,其密切平面的方程是
即 sin sin(t-) x –sin cos(t-) y + z – tsin – cos = 0 .
5． 證明曲線是球面曲線的充要條件是曲線的所有法平面通過一定點。
證方法一：
設一曲線為一球面曲線，取球心為座標原點，則曲線的向徑具有固定長，所以·= 0，即曲線每一點的切線與其向徑垂直，因此曲線在每一點的法平面通過這點的向徑，也就通過其始點球心。
若一曲線的所有法平面通過一定點，以此定點為座標原點建立座標系，則·= 0，具有固定長，對應的曲線是球面曲線。
方法二：
是球面曲線存在定點（是球面中心的徑矢）和常數r（是球面的半徑）使 ，即 （﹡）
而過曲線上任一點的法平面方程為。可知法平面過球面中心（﹡）成立。
所以，曲線是球面曲線的充要條件是曲線的所有法平面通過一定點。
6.證明過原點平行於圓柱螺線=的副法線的直線軌跡是錐面.
證 =, = ，×=為副法線的方向向量，過原點平行於副法線的直線的方程是，消去引數t得。
7．求以下曲面的曲率和撓率,。
解 ，，，，所以
。 ，，
×= ，
。 8．已知曲線，求基本向量；曲率和撓率；驗證伏雷內公式。
分析這裡給出的曲線的方程為一般引數，一般地我們可以根據公式去求基本向量和曲率撓率，我們也可以利用定義來求。
解 ，
（設sintcost>0）， 則，
， ，
， ， ，由於與方向相反，所以
顯然以上所得滿足，而
也滿足伏雷內公式 。
9.證明如果曲線的所有切線都經過一的定點，則此曲線是直線。
證方法一：取定點為座標原點建座標系，曲線的方程設為＝，則曲線在任意點的切線方程是，由條件切線都過座標原點，所以，可見∥，所以具有固定方向，故＝是直線。
方法二：取定點為座標原點建座標系，曲線的方程設為＝，則曲線在任意點的切線方程是，由條件切線都過座標原點，所以，於是＝，從而×＝，所以由曲率的計算公式知曲率k＝０，所以曲線為直線。
方法二：設定點為，曲線的方程為＝，則曲線在任意點的切線方程是，由條件切線都過定點，所以，兩端求導得:
, 即，而無關，所以，
可知，因此曲線是直線。
10. 證明如果曲線的所有密切平面都經過一的定點，則此曲線是平面曲線。
證方法一：取定點為座標原點建座標系，曲線的方程設為＝，則曲線在任意點的密切平面的方程是，由條件，即（）=0，所以平行於一固定平面，即＝是平面曲線。
方法二：取定點為座標原點建座標系，曲線的方程設為＝，則曲線在任意點的密切平面方程是，由條件，兩邊微分並用伏雷內公式得 。若,又由可知∥,所以＝平行於固定方向，這時＝表示直線,結論成立。
否則，從而知曲線是平面曲線。
方法三：取定點為座標原點建座標系，曲線的方程設為＝，則曲線在任意點的密切平面方程是，由條件，即（）=0，所以，，共面，若∥，則＝是直線，否則可設，所以共面，所以，從而知曲線是平面曲線。
11. 證明如果一條曲線的所有法平面包含常向量，那麼曲線是直線或平面曲線。
證方法一：根據已知，若是常向量，則k==0 ，這時曲線是直線。否則在兩邊微分得·=０，即 k·=０,所以·=０，又因，所以∥，而為單位向量，所以可知為常向量，於是，即，此曲線為平面曲線。
方法二：曲線的方程設為＝，由條件·＝０，兩邊微分得·＝０，·＝０，所以，，共面，所以（）＝０。由撓率的計算公式可知，故曲線為平面曲線。當×＝時是直線。
方法三：曲線的方程設為＝，由條件·＝０，兩邊積分得（是常數）。因是平面的方程，說明曲線＝在平面上，即曲線是平面曲線，當有固定方向時為直線。
12．證明曲率為常數的空間曲線的曲率中心的軌跡仍是曲率為常數的曲線。
證明設曲線（c）：＝的曲率k為常數,其曲率中心的軌跡（）的方程為： ，（為曲線（c）的主法向量），對於曲線（）兩邊微分得 ，（，，分別為曲線（c）的單位切向量，副法向量和撓率），，， ，曲線（）的曲率為為常數。
13.證明曲線x=1+3t+2,y=2-2t+5,z=1-為平面曲線，並求出它所在的平面方程 。
證 =， =在那點的曲率半徑最大。
解 = a , = a, ,
×=,所以在t=(2k+1)，k為整數處曲率半徑最大。
18． 已知曲線上一點的鄰近一點，求點到點的密切平面、法平面、從切平面的距離（設點的曲率、撓率分別為）。
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