2023年暑期高二數學
行列式初步
§9.1.1 二階行列式(1)——二階行列式
一．引入
觀察二元一次方程組的解法，設二元一次方程組
用加減消元法來解，
;當時，有.
二. 定義二階行列式及展開
用記號來表示算式,即.
說明:二階行列式表示的是四個數的一種特定的算式
思考與運用
1. 解方程:.
解:.2. 求函式的值域.
解:.3．行列式(a，b，c，d∈)所有可能的值中，最大的是________．
解析：＝ad－bc，則a＝d＝2，bc＝－2時，取最大值為6.
答案：6
三. 利用二階行列式解二元一次方程組
將和分別用行列式來表示,可以表示為和,即
, , ,
於是上述二元一次方程組的解可以表示為
().§9.1.2 二階行列式(2)——作為判別式的二階行列式
一．練習與複習
(一)展開下列行列式:
1. ;
2.;3.;
4..(二)解下列方程組
1.; 2.;
3. 無解4. 無窮多解.
二. 作為判別式的二階行列式
通過加減消元法將二元一次方程組化為,
(1) 當時,方程組有唯一解
(2) 當時,若,中至少有乙個不為零,則方程組無解;
若,則方程組有無窮多解.
感受與體驗 p10 練習9.1(2) 1; p10 習題9.1 3
思考與運用
例解關於的二元一次方程組,並對解的情況進行討論:.
解:, , ,
當,即且時有唯一解;
當時, ,而,方程組無解;
當時, ,且,方程組有無窮多解
三. 拓展與提高
例1 已知三角形的三個頂點座標分別為, , ,試用行列式表示三角形的面積.
例2 （1）計算行列式、、的值；
（2）從上述結果中得出乙個一般的結論，並證明.
解: (1) 均為0;
(2),證明:.
同理 □
§9.2.1 三階行列式(1)——三階行列式的展開(1)
一. 三階行列式的概念
用記號表示算式,稱為三階行列式.
二. 三階行列式的展開
(一) 按對角線展開
例計算三階行列式.
解: .
感受與體驗 p12 練習9.2(1)
(二)按一行(或一列)展開
1. 余子式把三階行列式中某個元素所在的行和列劃去,將剩下的元素按原來的位置關係組成的二階行列式稱為該元素的余子式.
例如和分別是中元素和的余子式.
2. 代數余子式把余子式添上相應的符號,某元素所在行列式中的位置第行第列,該元素的代數余子式的符號為
例如和分別是中元素和的代數余子式.
注：各元素代數余子式的符號如圖所示:
3. 按一行(或一列)展開
例按第一行和第一列展開行列式.
解: 按第一行展開: ;
按第一列展開:.
感受與體驗 p15 練習9.2(2) 1; 2
§9.2.2 三階行列式(2)——三階行列式的展開(2)
一.複習按對角線或按一行（一列）展開三階行列式的方法
完成練習 p21 習題 9.2 1 (用適當的方法)
二.例題與練習
例1 若行列式,求的值.
解:. □
例2 已知行列式,求的值.
解例3 已知,若,求的取值範圍.
解:例4 把下面的算式寫成乙個三階行列式:
(1);
(2). (答案不唯一) □
例5 驗證三階行列式的某一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數余子式的乘積之和為零.
解: 例如三階行列式的第二行元素分別與第一行的元素的代數余子式相乘,即
. □
例5 在直角座標系中,不在一直線的三點:, ,依逆時針順序排列.
(1)探求用行列式表示的面積公式;
(2)當三點依順時針順序排列式,的面積公式有何變化?
解: (1)記梯形的面積分別為,
,同理有
, ,則
(2).
[說明] 本例可得兩個結論:
(1) 定點座標分別為, ,的的面積為;
(2) 平面上三點, ,共線的充要條件為.
三.布置作業
§9.2.3 三階行列式(3)——三元一次方程組的行列式解法
一. 複習二元一次方程組的行列式解法及解的情況的判別方法
對於二元一次方程組當時,方程組有唯一解;當時,若,中至少有乙個不為零,則方程組無解;若,則方程組有無窮多解.
二. 三元一次方程組的行列式解法
對於三元一次方程組,記其係數行列式為,
用中第一列元素的代數余子式依次乘以方程組的各方程,得,,
, 將上述三個等式相加,得
，其中記，則,同理可得
，， 於是方程組當時有惟一解.
例解三元一次方程組:.
解:, , , ,
感受與體驗 p19練習9.2(3) 用行列式解下列方程組
三. 當係數行列式的情況
當時三元一次方程組可能無解,也可能有無窮多解.
例求關於的方程組有惟一解的條件,並在此條件下寫出該方程組的解.
解:, 又, , ,
所以當時,方程組的解為. □
注意與二元一次方程組解的情況相區別。
感受與體驗 p20 練習9.2(4) 2
典型例題
1． (上海 3) 若行列式中，元素4的代數余子式大於0，則x滿足的條件是____x>8/3
1．（2023年高考上海市理科4）行列式的值是 。
【解析】原式====0.
3．（2023年上海市春季高考11) 方程的解集為
答案：解析：，即，故
1.(2011·上海)行列式(a，b，c，d∈)所有可能的值中，最大的是________．
解析：＝ad－bc，則a＝d＝2，bc＝－2時，取最大值為6答案：6
1．(2023年高考上海卷理科3)函式的值域是
【上海市青浦區2013屆高三上學期期末文】若，則化簡後的最後結果等於
【答案】2
【ks5u解析】由行列式的定義可知行列式的值為，所以
【上海市松江區2013屆高三上學期期末文】若行列式則 ▲ ．
【答案】2
【ks5u解析】由得，即，所以。
高二ａ數學講義第十七講（130809）課後作業
（本試卷共14題，時間45分鐘，滿分100分）
班級姓名
一、選擇題(每小題6分,共10個小題,共60分)
1．將函式的影象向右平移個單位，所得影象的函式為偶函式，則的最小值為 ( )
a． b． c． d．
2．若則實數對可以是 ．
3．方程組的解的情況是
（ａ）唯一解； （ｂ）無解； （ｃ）無窮多解； （ｄ）不確定．
4. 函式的取值範圍是
5．若數列中，，則數列的前ｎ項和 ．
6．關於、的二元一次方程組的係數行列式是該方程組有解的（ ）．[**:學#科#網]
a．充分非必要條件b．必要非充分條件[**:學*科*網]
c．充分且必要條件 d．既非充分也非必要條件 [**:學+科+網z+x+x+k]
7、函式影象的頂點是，且成等比數列，則
8.設，則方程的解集為
9．三階行列式第2行第1列元素的代數余子式為，則來
10．若，則
二．簡答題（每題10分）
11. 展開行列式並化簡：
12. 用行列式解下列方程組：
（1）；（2）．
13. 若關於x、y、z的方程組：有唯一解，求m所滿足的條件，並求出唯一解．
14. 解關於x、y、z的三元一次方程組，並討論解的情況．
考研數學 行列式計算如何破解
行列式是線性代數中最基本的運算之一，也是考生複習線性代數必須掌握的兩大基本技能之一 另一項是線性方程組 後面的很多知識點都會用到行列式，如判斷矩陣的可逆性，求矩陣的秩，求矩陣的特徵值等。在考試中，這一部分如果單獨出題的話往往以選擇題或填空題的形式出現，且以考查抽象矩陣的行列式為主 更多的時候，行列式...
2019數學考研行列式 矩陣 向量考點詳解
考研數學複習是建立在對基本的東西很深刻的理解的基礎上的，單純多做題可能會多見識一些題型，但對於一些很靈活有新意的題目就可能無法應對，這和點石成金的故事是一樣的道理。而這種能力的培養卻來自於老老實實地將基礎打牢，這一點上要摒棄那種急功近利的想法，不論是考研還是成就一番事業，要想成功，首先要沉得住氣，有...
上海高二數學直線方程經典例題
直線的傾斜角和斜率 1 傾斜角定義 2 斜率k tan 0 180 當 90時，k不存在。例1 過點m 2，m n m,4 的直線的斜率等於1，則m的值為 例2 過兩點a m2 2,m2 3 b 3 m m2,2m 的直線l的傾斜角為45 求m的值。例3 已知直線l 經過點p 1,1 且與線段mn相...