一、換元積分法
◆ 1．第一類換元積分法：
設f(u)，為連續函式，可導，且，則
常見的湊微分形式：
① ②③ ④ ⑤⑥
⑦⑧例2.1計算
解:令，，則
=。例2.2計算下列積分：
（1）； （2）
解：（1）
（2）◆ 2．第二類換元積分法：
單調、可導且，又有原函式。則
第二類換元法中常用的變數代換：
① 三角代換：變根式積分三角有理式積分
注意：輔助三角形可為變數還原提供方便。
② 倒數代換：可消去分母中的變數x。
③ 指數代換： 適用被積函式由a x 或e x 構成的代數式。
例2.3計算積分
解：令例2.4計算積分。
解： =
例2.5計算積分
解：令，則
二、分部積分法
分部積分公式：
◆分部積分法條件： u，v 具有連續導數。
選取u，v 的原則：
◆ 可用分部積分法求積分的型別：
例2.6 計算積分。
解：原式=
例2.7 計算積分
解： 例2.7設，計算。
解：，設，則，。
= 。
三、幾種特殊型別的積分：
1．有理函式的積分部分分式之和的積分
對於任意有理函式，存在乙個固定的代數演算法，可以把它分解為四種基本形式的有理分式的和，而這四種基本形式的有理分式存在相應的積分公式。列出如下：
(1)(2)(3)(4)其中；dt=dx；。
可以很容易地求出（4）中的第乙個積分為
。而對於第二個積分式，我們可以得到遞推公式
，其中：。
【注意】從理論上講，任意有理函式的積分都可以被積出來，但要分析被積函式的特點，靈活選擇解法，常用的方法中有湊微分法和變數替換法。
例2.8 計算積分。
解： 例2.9 計算下列積分
（1）； （2）
解：（1）令，則，於是
原式= =
=（2）令，則，於是
原式= =
2．三角函式有理式
的積分有理函式的積分
由，及常數，經過有限次四則運算所得到的函式稱為三角函式有理式，記作：，積分稱為三角函式有理式積分。
【解題方法】
① 盡量使分母簡單，為此可以分子、分母同乘以某個因子，把分母化成 sinkx 或 coskx 的單項式，或將分母整個看作一項。
② 盡量使 r(cosx，sinx) 的冪降低，常用倍角公式或積化和差公式。
常用積化和差公式：
倍角公式：
，， ③ 在積分的過程中注意「」的妙用。
例2.10 計算下列積分
（1）；（2）；（3）。
解： 故原積分=
（2）（3）
故原積分=
3．無理函式的積分有理函式的積分
無理函式的積分，一般是通過選擇變數替換，化為有理函式的積分來進行。
【解題方法】
① 利用第二類換元法中的三角代換；
② 若被積函式含有，，可令，；
若被積函式含有，，可令，其中m，n為正整數，p為m，n的最小公倍數。
【注意】
無理函式分子或分母可有理化時，應先有理化。
例2.11 計算積分
解：令原積分=
=。四、分段函式的積分
連續函式必有原函式，且原函式連續。因此有
◆ 如果函式在分界點連續，則在包含該點的區間內原函式存在。
◆ 如果分界點是函式的間斷點，那麼在包含該點的區間內，不存在原函式。
【解題方法】
方法一◆ 先分別求出函式的各分段在相應區間內的原函式；
◆ 由原函式的連續性確定出各積分常數之間的關係。
方法二◆ 利用變上限積分函式，先求出的乙個原函式，則有
=+c（注意：方法二省去了確定常數的麻煩）
◆ ◆◆ 例2.12 設，求。
解法一：由於f (x)在在x=0連續，故f (x)的原函式存在，因此先分別求出 f (x)在(–∞，0)，(0，+∞)內的原函式。
由原函式f(x)的連續性，考慮f(x)在x= 0處的左、右極限，得
解法二：設f (x)的乙個原函式為，而=故
例2.13 求。
解： 由於min在x=－1，x=1連續，故min 的原函式存在，因此先分別求出min在(–∞，－1)，(－1，1)，(1，+ ∞)內的原函式。
由原函式f(x)的連續性，考慮f(x)在x=－1，x=1處的左、右極限，得
故 ，。
因此五、抽象函式的積分
所謂抽象函式的不定積分，是指被積函式由抽象函式所構成的一類積分。其解法同樣可用換元法和分部積分法。
例2.13 求不定積分。
解： 。
例2.14 求設 f (x)的原函式為：，求。
解：因為為f (x)的原函式，故
， 因此有 =。
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