第十一章圓錐曲線
一、基礎知識
1．橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個定點的距離之和等於定長（大於兩個定點之間的距離）的點的軌跡，即|pf1|+|pf2|=2a (2a>|f1f2|=2c).
第二定義：平面上到乙個定點的距離與到一條定直線的距離之比為同乙個常數e(0(0第三定義：在直角座標平面內給定兩圓c1:
x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈r+且a≠b。從原點出發的射線交圓c1於p，交圓c2於q，過p引y軸的平行線，過q引x軸的平行線，兩條線的交點的軌跡即為橢圓。
2．橢圓的方程，如果以橢圓的中心為原點，焦點所在的直線為座標軸建立座標系，由定義可求得它的標準方程，若焦點在x軸上，列標準方程為
(a>b>0)，
引數方程為（為引數）。
若焦點在y軸上，列標準方程為
(a>b>0)。
3．橢圓中的相關概念，對於中心在原點，焦點在x軸上的橢圓
，a稱半長軸長，b稱半短軸長，c稱為半焦距，長軸端點、短軸端點、兩個焦點的座標分別為(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；與左焦點對應的準線（即第二定義中的定直線）為，與右焦點對應的準線為；定義中的比e稱為離心率，且，由c2+b2=a2知0橢圓有兩條對稱軸，分別是長軸、短軸。
4．橢圓的焦半徑公式：對於橢圓1(a>b>0), f1(-c, 0), f2(c, 0)是它的兩焦點。若p(x, y)是橢圓上的任意一點，則|pf1|=a+ex, |pf2|=a-ex.
5．幾個常用結論：1）過橢圓上一點p(x0, y0)的切線方程為
；2）斜率為k的切線方程為；
3）過焦點f2(c, 0)傾斜角為θ的弦的長為
。6．雙曲線的定義，第一定義：
滿足||pf1|-|pf2||=2a(2a<2c=|f1f2|, a>0)的點p的軌跡；
第二定義：到定點的距離與到定直線距離之比為常數e(>1)的點的軌跡。
7．雙曲線的方程：中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線方程為
，引數方程為（為引數）。
焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為
。8．雙曲線的相關概念，中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線
(a, b>0),
a稱半實軸長，b稱為半虛軸長，c為半焦距，實軸的兩個端點為(-a, 0), (a, 0). 左、右焦點為f1(-c,0), f2(c, 0)，對應的左、右準線方程分別為離心率，由a2+b2=c2知e>1。兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個焦點在同乙個圓上。
若a=b，則稱為等軸雙曲線。
9．雙曲線的常用結論，1）焦半徑公式，對於雙曲線，f1（-c,0）, f2(c, 0)是它的兩個焦點。設p(x,y)是雙曲線上的任一點，若p在右支上，則|pf1|=ex+a, |pf2|=ex-a；若p（x,y）在左支上，則|pf1|=-ex-a，|pf2|=-ex+a.
2) 過焦點的傾斜角為θ的弦長是。
10．拋物線：平面內與乙個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點f叫焦點，直線l叫做拋物線的準線。若取經過焦點f且垂直於準線l的直線為x軸，x軸與l相交於k，以線段kf的垂直平分線為y軸，建立直角座標系，設|kf|=p，則焦點f座標為，準線方程為，標準方程為y2=2px(p>0)，離心率e=1.
11．拋物線常用結論：若p(x0, y0)為拋物線上任一點，
1）焦半徑|pf|=；
2）過點p的切線方程為y0y=p(x+x0)；
3）過焦點傾斜角為θ的弦長為。
12．極座標系，在平面內取乙個定點為極點記為o，從o出發的射線為極軸記為ox軸，這樣就建立了極座標系，對於平面內任意一點p，記|op|=ρ,∠xop=θ，則由（ρ，θ）唯一確定點p的位置，（ρ，θ）稱為極座標。
13．圓錐曲線的統一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比為常數e的點p，若01，則點p的軌跡為雙曲線的一支；若e=1，則點p的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統一的極座標方程為。
二、方法與例題
1．與定義有關的問題。
例1 已知定點a（2，1），f是橢圓的左焦點，點p為橢圓上的動點，當3|pa|+5|pf|取最小值時，求點p的座標。
[解] 見圖11-1，由題設a=5, b=4, c==3,.橢圓左準線的方程為，又因為，所以點a在橢圓內部，又點f座標為（-3，0），過p作pq垂直於左準線，垂足為q。由定義知，則|pf|=|pq|。
所以3|pa|+5|pf|=3(|pa|+|pf|)=3(|pa|+|pq|)≥3|am|(am左準線於m)。
所以當且僅當p為am與橢圓的交點時，3|pa|+5|pf|取最小值，把y=1代入橢圓方程得，又x<0，所以點p座標為
例2 已知p，為雙曲線c：右支上兩點，延長線交右準線於k，pf1延長線交雙曲線於q，（f1為右焦點）。求證：∠ f1k=∠kf1q.
[證明] 記右準線為l，作pdl於d，於e，因為//pd，則，又由定義，所以，由三角形外角平分線定理知，f1k為∠pf1p的外角平分線，所以∠=∠kf1q。
2．求軌跡問題。
例3 已知一橢圓及焦點f，點a為橢圓上一動點，求線段fa中點p的軌跡方程。
[解法一] 利用定義，以橢圓的中心為原點o，焦點所在的直線為x軸，建立直角座標系，設橢圓方程： =1（a>b>0）.f座標為(-c, 0).
設另一焦點為。鏈結，op，則。所以|fp|+|po|= (|fa|+|a|)=a.
所以點p的軌跡是以f，o為兩焦點的橢圓（因為a>|fo|=c），將此橢圓按向量m=(,0)平移，得到中心在原點的橢圓：。由平移公式知，所求橢圓的方程為
[解法二] 相關點法。設點p(x,y), a(x1, y1)，則，即x1=2x+c, y1=2y. 又因為點a在橢圓上，所以代入得關於點p的方程為。
它表示中心為，焦點分別為f和o的橢圓。
例4 長為a, b的線段ab，cd分別在x軸，y軸上滑動，且a，b，c，d四點共圓，求此動圓圓心p的軌跡。
[解] 設p(x, y)為軌跡上任意一點，a，b，c，d的座標分別為a(x-,0), b(x+,0), c(0, y-), d(0, y+), 記o為原點，由圓冪定理知|oa||ob|=|oc||od|，用座標表示為，即
當a=b時，軌跡為兩條直線y=x與y=-x；
當a>b時，軌跡為焦點在x軸上的兩條等軸雙曲線；
當a例5 在座標平面內，∠aob=，ab邊在直線l: x=3上移動，求三角形aob的外心的軌跡方程。
[解] 設∠xob=θ,並且b在a的上方，則點a，b座標分別為b(3, 3tanθ),a(3,3tan(θ-)),設外心為p(x,y)，由中點公式知ob中點為m。
由外心性質知再由得
×tanθ=-1。結合上式有
tanθ= ①
又 tan
又所以tanθ-=兩邊平方，再將①，②代入得。即為所求。
3．定值問題。
例6 過雙曲線(a>0, b>0)的右焦點f作b1b2軸，交雙曲線於b1，b2兩點，b2與左焦點f1連線交雙曲線於b點，鏈結b1b交x軸於h點。求證：h的橫座標為定值。
[證明] 設點b，h，f的座標分別為(asecα,btanα), (x0, 0), (c, 0)，則f1，b1，b2的座標分別為(-c, 0), (c,), (c,)，因為f1，h分別是直線b2f，bb1與x軸的交點，所以
①所以。由①得
代入上式得
即 （定值）。
注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。
例7 設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為f，經過點f的直線交拋物線於a，b兩點，點c在準線上，且bc//x軸。證明：直線ac經過定點。
[證明] 設，則，焦點為，所以，，，。由於，所以y2-y1=0，即=0。因為，所以。所以，即。所以，即直線ac經過原點。
例8 橢圓上有兩點a，b，滿足oaob，o為原點，求證：為定值。
[證明] 設|oa|=r1,|ob|=r2,且∠xoa=θ,∠xob=，則點a，b的座標分別為a(r1cosθ, r1sinθ),b(-r2sinθ,r2cosθ)。由a，b在橢圓上有
即 ②
①+②得（定值）。
4．最值問題。
例9 設a，b是橢圓x2+3y2=1上的兩個動點，且oaob（o為原點），求|ab|的最大值與最小值。
[解] 由題設a=1，b=,記|oa|=r1,|ob|=r2,，參考例8可得=4。設m=|ab|2=,
因為，且a2>b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以。又函式f(x)=x+在上單調遞減，在上單調遞增，所以當t=1即|oa|=|ob|時，|ab|取最小值1；當或時，|ab|取最大值。
例10 設一橢圓中心為原點，長軸在x軸上，離心率為，若圓c： 1上點與這橢圓上點的最大距離為，試求這個橢圓的方程。
[解] 設a，b分別為圓c和橢圓上動點。由題設圓心c座標為，半徑|ca|=1，因為|ab|≤|bc|+|ca|=|bc|+1，所以當且僅當a，b，c共線，且|bc|取最大值時，|ab|取最大值，所以|bc|最大值為
因為；所以可設橢圓半長軸、半焦距、半短軸長分別為2t, ,t，橢圓方程為，並設點b座標為b(2tcosθ,tsinθ)，則|bc|2=(2tcosθ)2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3(tsinθ+)2+3+4t2.
若，則當sinθ=-1時，|bc|2取最大值t2+3t+，與題設不符。
若t>,則當sinθ=時，|bc|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.
所以橢圓方程為。
5．直線與二次曲線。
例11 若拋物線y=ax2-1上存在關於直線x+y=0成軸對稱的兩點，試求a的取值範圍。
[解] 拋物線y=ax2-1的頂點為(0,-1)，對稱軸為y軸，存在關於直線x+y=0對稱兩點的條件是存在一對點p(x1,y1)， (-y1,-x1)，滿足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相減得x1+y1=a(),因為p不在直線x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+
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