第1講集合
1．集合：某些指定的物件集在一起成為集合
（1）集合中的物件稱元素，若a是集合a的元素，記作；若b不是集合a的元素，記作；
（2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；
確定性：設a是乙個給定的集合，x是某乙個具體物件，則或者是a的元素，或者不是a的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；
互異性：乙個給定集合中的元素，指屬於這個集合的互不相同的個體（物件），因此，同一集合中不應重複出現同一元素；
無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同於元素的排列順序無關；
（3）表示乙個集合可用列舉法、描述法或圖示法；
列舉法：把集合中的元素一一枚舉出來，寫在大括號內；
描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內。
具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）範圍，再畫一條豎線，在豎線後寫出這個集合中元素所具有的共同特徵。
注意：列舉法與描述法各有優點，應該根據具體問題確定採用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜採用列舉法。
（4）常用數集及其記法：
非負整數集（或自然數集），記作n；
正整數集，記作n*或n+；
整數集，記作z；
有理數集，記作q；
實數集，記作r。
2．集合的包含關係：
（1）集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，則稱a是b的子集（或b包含a），記作ab（或）；
集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣。若ab且ba，則稱a等於b，記作a=b；若ab且a≠b，則稱a是b的真子集，記作a b；
（2）簡單性質：1）aa；2）a；3）若ab，bc，則ac；4）若集合a是n個元素的集合，則集合a有2n個子集（其中2n－1個真子集）；
3．全集與補集：
（1）包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作u；
（2）若s是乙個集合，as，則，=稱s中子集a的補集；
（3）簡單性質：1）()=a；2）s=，=s
4．交集與並集：
（1）一般地，由屬於集合a且屬於集合b的元素所組成的集合，叫做集合a與b的交集。交集。
（2）一般地，由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，稱為集合a與b的並集。
注意：求集合的並、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區分交集與並集的關鍵是「且」與「或」，在處理有關交集與並集的問題時，常常從這兩個字眼出發去揭示、挖掘題設條件，結合venn圖或數軸進而用集合語言表達，增強數形結合的思想方法。
5．集合的簡單性質：
（1）（2）
（3）（4）
（5）（a∩b）=（a）∪（b），
（a∪b）=（a）∩（b）。
【典例解析】
題型1：集合的概念
例1．（2009廣東卷理）已知全集，集合和
的關係的韋恩（venn）圖如圖1所示，則陰影部分所示的集合的元素共有
a. 3個 b. 2個 c. 1個 d. 無窮多個
答案 b
解析由得，則，有2個，選b.
例2．(2009山東卷理)集合,,若,則的值為 ( )
a.0b.1c.2d.4
答案 d
解析 ∵,,∴∴,故選d.
題型2：集合的性質
例3．(2009山東卷理)集合,,若,則的值為 ( )
a.0b.1c.2d.4
答案 d
解析 ∵,,∴∴,故選d.
1.設全集u=r，a=，b=，則下圖中陰影表示的集合為
a．b．c.
2. 已知集合a=,b=，若a∩b≠φ，則實數a的取值範圍為
解：由題知可解得a=如果，則這樣的實數是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由
解：∵；
∴，即＝0，解得
當時，，為a中元素；
當時，當時，
∴這樣的實數x存在，是或。
另法：∵
∴，∴＝0且
∴或。點評：該題考察了集合間的關係以及集合的性質。分類討論的過程中「當時，」不能滿足集合中元素的互異性。此題的關鍵是理解符號是兩層含義：。
變式題：已知集合，,,求的值。
解：由可知，
（1），
或（2）
解（1）得，
解（2）得，
又因為當時，與題意不符，
所以，。
題型3：集合的運算
例5．(2023年河南省上蔡一中高三月考)已知函式的定義域集合是a,函式的定義域集合是b
（1）求集合a、b
（2）若ab=b,求實數的取值範圍．
解 （1）a＝
b＝（2）由ab＝b得ab，因此
所以,所以實數的取值範圍是
例6．（2009寧夏海南卷理）已知集合,則( )
ab.cd.
答案 a
解析易有，選a
題型4：**法解集合問題
例7．（2023年廣西北海九中訓練）已知集合m=，n=，則
ab．cd． 答案 c
例8．設全集，函式的定義域為a，集合，若恰好有2個元素，求a的取值集合。
解：時， ∴∴，∴
∴當時，在此區間上恰有2個偶數。
題型7：集合綜合題
例11．（1999上海，17）設集合a=，b=，若ab，求實數a的取值範圍。
解：由|x－a|<2，得a－2由<1，得<0，即－2因為ab，所以，於是0≤a≤1。
第二講函式概念與表示
1．函式的概念：
設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：a→b為從集合a到集合b的乙個函式。記作：
y=f(x)，x∈a。其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域。
注意：（1）「y=f(x)」是函式符號，可以用任意的字母表示，如「y=g(x)」；
（2）函式符號「y=f(x)」中的f(x)表示與x對應的函式值，乙個數，而不是f乘x
2．構成函式的三要素：定義域、對應關係和值域
（1）解決一切函式問題必須認真確定該函式的定義域，函式的定義域包含三種形式：
①自然型：指函式的解析式有意義的自變數x的取值範圍（如：分式函式的分母不為零，偶次根式函式的被開方數為非負數，對數函式的真數為正數，等等）；
②限制型：指命題的條件或人為對自變數x的限制，這是函式學習中重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；
③實際型：解決函式的綜合問題與應用問題時，應認真考察自變數x的實際意義。
（2）求函式的值域是比較困難的數學問題，中學數學要求能用初等方法求一些簡單函式的值域問題
①配方法（將函式轉化為二次函式）；②判別式法（將函式轉化為二次方程）；③不等式法（運用不等式的各種性質）；④函式法（運用基本函式性質，或抓住函式的單調性、函式圖象等）。
3．兩個函式的相等：
函式的定義含有三個要素，即定義域a、值域c和對應法則f。當函式的定義域及從定義域到值域的對應法則確定之後，函式的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應法則為函式的兩個基本條件，當且僅當兩個函式的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函式才是同乙個函式。
4．區間
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；
（2）無窮區間；
（3）區間的數軸表示
5．對映的概念
一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：ab為從集合a到集合b的乙個對映。記作「f：
ab」。
函式是建立在兩個非空數集間的一種對應，若將其中的條件「非空數集」弱化為「任意兩個非空集合」，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關係，這種的對應就叫對映。
注意：（1）這兩個集合有先後順序，a到b的射與b到a的對映是截然不同的．其中f表示具體的對應法則，可以用漢字敘述。
（2）「都有唯一」包含兩層意思：一是必有乙個；二是只有乙個，也就是說有且只有乙個的意思
6．常用的函式表示法
（1）解析法：就是把兩個變數的函式關係，用乙個等式來表示，這個等式叫做函式的解析表示式，簡稱解析式；
（2）列表法：就是列出**來表示兩個變數的函式關係；
（3）圖象法：就是用函式圖象表示兩個變數之間的關係
7．分段函式
若乙個函式的定義域分成了若干個子區間，而每個子區間的解析式不同，這種函式又稱分段函式；
8．復合函式
若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那麼y=f[g(x)]稱為復合函式，u稱為中間變數，它的取值範圍是g(x)的值域
【典例解析】
題型1：函式概念
例1．21.（2009天津卷文）設函式則不等式的解集是（ ）
ab.c. d.
答案 a
解析由已知，函式先增後減再增
當，令解得。
當，故 ，解得
變式題：（2009北京文）已知函式若，則答案
解析本題主要考查分段函式和簡單的已知函式值求的值. 屬於基礎知識、基本運算的考查.
由，無解，故應填.
例2．（1）函式對於任意實數滿足條件，若則
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