1、有理數的分類
⑴按有理數的意義分類按正、負來分
正整數正整數
整數 0正有理數
負整數正分數
有理數有理數 00不能忽視）
正分數負整數
分數負有理數
負分數負分數
總結：①正整數、0統稱為非負整數（也叫自然數）
②負整數、0統稱為非正整數
③正有理數、0統稱為非負有理數
④負有理數、0統稱為非正有理數
理解：只有能化成分數的數才是有理數。①π是無限不迴圈小數，不能寫成分數形式，不是有理數。②有限小數和無限迴圈小數都可化成分數，都是有理數。
數軸規定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數軸。
注意：⑴數軸是一條向兩端無限延伸的直線；⑵原點、正方向、單位長度是數軸的三要素，三者缺一不可；⑶同一數軸上的單位長度要統一；⑷數軸的三要素都是根據實際需要規定的。
數軸上的點與有理數的關係
⑴所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，正有理數可用原點右邊的點表示，負有理數可用原點左邊的點表示，0用原點表示。
⑵所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來，但數軸上的點不都表示有理數，也就是說，有理數與數軸上的點不是一一對應關係。（如，數軸上的點π不是有理數）
3.利用數軸表示兩數大小
⑴在數軸上數的大小比較，右邊的數總比左邊的數大；
⑵正數都大於0，負數都小於0，正數大於負數；
⑶兩個負數比較，距離原點遠的數比距離原點近的數小。
4.數軸上特殊的最大（小）數
⑴最小的自然數是0，無最大的自然數；
⑵最小的正整數是1，無最大的正整數；
⑶最大的負整數是－1，無最小的負整數
可以表示什麼數
⑴a＞0表示a是正數；反之，a是正數，則a＞0；
⑵a＜0表示a是負數；反之，a是負數，則a＜0
⑶a＝0表示a是0；反之，a是0,，則a＝0
6.數軸上點的移動規律
根據點的移動，向左移動幾個單位長度則減去幾，向右移動幾個單位長度則加上幾，從而得到所需的點的位置。
相反數符號不同絕對值相等的兩個數叫做互為相反數，其中乙個是另乙個的相反數，0的相反數是0。
注意：⑴相反數是成對出現的；⑵相反數只有符號不同，若乙個為正，則另乙個為負；⑶0的相反數是它本身；相反數為本身的數是0。
2.相反數的性質與判定
⑴任何數都有相反數，且只有乙個；
⑵0的相反數是0；
⑶互為相反數的兩數和為0，和為0的兩數互為相反數，即a，b互為相反數，則a﹢b＝0
3.相反數的幾何意義
在數軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數，是互為相反數；互為相反數的兩個數，在數軸上的對應點（0除外）在原點兩旁，並且與原點的距離相等。0的相反數對應原點；原點表示0的相反數。
說明：在數軸上，表示互為相反數的兩個點關於原點對稱。
4.相反數的求法
⑴求乙個數的相反數，只要在它的前面添上負號「－」即可求得（如：5的相反數是－5）；
⑵求多個數的和或差的相反數是，要用括號括起來再添「－」，然後化簡（如；5a﹢b的相反數是－（5a﹢b）。化簡得－5a－b）；
⑶求前面帶「－」的單個數，也應先用括號括起來再添「－」，然後化簡(如：－5的相反數是－（－5），化簡得5)
5.相反數的表示方法
⑴一般地，數a 的相反數是－a ，其中a是任意有理數，可以是正數、負數或0。
當a＞0時，－a＜0（正數的相反數是負數）
當a＜0時，－a＞0（負數的相反數是正數）
當a＝0時，－a＝0，（0的相反數是0）
6.多重符號的化簡
多重符號的化簡規律:「﹢」號的個數不影響化簡的結果，可以直接省略；「－」號的個數決定最後化簡結果；即：「－」的個數是奇數時，結果為負，「－」的個數是偶數時，結果為正。
絕對值⒈絕對值的幾何定義
一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|。
2.絕對值的代數定義
⑴乙個正數的絕對值是它本身； ⑵乙個負數的絕對值是它的相反數； ⑶0的絕對值是0.
可用字母表示為：
①如果a＞0，那麼|a|＝a； ②如果a＜0，那麼|a|＝－a； ③如果a＝0，那麼|a|＝0。
可歸納為①：a≥0，＜═＞ |a|＝a （非負數的絕對值等於本身；絕對值等於本身的數是非負數。）
②a≤0，＜═＞ |a|＝－a （非正數的絕對值等於其相反數；絕對值等於其相反數的數是非正數。）
3.絕對值的性質
任何乙個有理數的絕對值都是非負數，也就是說絕對值具有非負性。所以，a取任何有理數，都有|a|≥0。即⑴0的絕對值是0；絕對值是0的數是0.即：a＝0 ＜═＞ |a|＝0；
⑵乙個數的絕對值是非負數，絕對值最小的數是0.即：|a|≥0；
⑶任何數的絕對值都不小於原數。即：|a|≥a；
⑷絕對值是相同正數的數有兩個，它們互為相反數。即：若|x|＝a（a＞0），則x＝±a；
⑸互為相反數的兩數的絕對值相等。即：|－a|＝|a|或若a﹢b＝0，則|a|＝|b|；
⑹絕對值相等的兩數相等或互為相反數。即：|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；
⑺若幾個數的絕對值的和等於0，則這幾個數就同時為0。即|a|﹢|b|＝0，則a＝0且b＝0。
（非負數的常用性質：若幾個非負數的和為0，則有且只有這幾個非負數同時為0）
4.有理數大小的比較
⑴利用數軸比較兩個數的大小：數軸上的兩個數相比較，左邊的總比右邊的小；
⑵利用絕對值比較兩個負數的大小：兩個負數比較大小，絕對值大的反而小；異號兩數比較大小，正數大於負數。
5.絕對值的化簡
①當a≥0時， |a|＝a ； ②當a≤0時， |a|＝－a
6.已知乙個數的絕對值，求這個數
乙個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點到原點的距離，一般地，絕對值為同乙個正數的有理數有兩個，它們互為相反數，絕對值為0的數是0，沒有絕對值為負數的數。
有理數的加減法
1.有理數的加法法則
⑴同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加；
⑵絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值；
⑶互為相反數的兩數相加，和為零；
⑷乙個數與零相加，仍得這個數。
2.有理數加法的運算律
⑴加法交換律：a﹢b＝b﹢a
⑵加法結合律：(a﹢b)﹢c＝a﹢(b﹢c)
在運用運算律時，一定要根據需要靈活運用，以達到化簡的目的，通常有下列規律：
①互為相反數的兩個數先相加——「相反數結合法」；
②符號相同的兩個數先相加——「同號結合法」；
③分母相同的數先相加——「同分母結合法」；
④幾個數相加得到整數，先相加——「湊整法」；
⑤整數與整數、小數與小數相加——「同形結合法」。
3.加法性質
乙個數加正數後的和比原數大；加負數後的和比原數小；加0後的和等於原數。即：
⑴當b＞0時，a﹢b＞a當b＜0時，a﹢b＜a當b＝0時，a﹢b＝a
4.有理數減法法則
減去乙個數，等於加上這個數的相反數。用字母表示為：a－b＝a﹢(－b)。
5.有理數加減法統一成加法的意義
在有理數加減法混合運算中，根據有理數減法法則，可以將減法轉化成加法後，再按照加法法則進行計算。
在和式裡，通常把各個加數的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如：
(－8)﹢(－7)﹢(－6)﹢(﹢5)＝－8－7－6﹢5.
和式的讀法：①按這個式子表示的意義讀作「負8、負7、負6、正5的和」
②按運算意義讀作「負8減7減6加5」
6.有理數加減混合運算中運用結合律時的一些技巧：
ⅰ.把符號相同的加數相結合（同號結合法）
(－33)－(－18)﹢(－15)－(﹢1)﹢(﹢23)
原式＝－33﹢(﹢18)﹢(－15)﹢(－1)﹢(﹢23將減法轉換成加法）
＝－33﹢18－15－1﹢23省略加號和括號）
＝(－33－15－1)﹢(18﹢23把符號相同的加數相結合）
＝－49﹢41運用加法法則一進行運算）
＝－8運用加法法則二進行運算）
ⅱ.把和為整數的加數相結合 （湊整法）
(﹢6.6)﹢(－5.2)－(－3.8)﹢(－2.6)－(﹢4.8)
原式＝(﹢6.6)﹢(－5.2)﹢(﹢3.8)﹢(－2.6)﹢(－4.8) （將減法轉換成加法）
＝6.6－5.2﹢3.8－2.6－4.8省略加號和括號）
＝(6.6－2.6)﹢(－5.2－4.8)﹢3.8把和為整數的加數相結合）
＝4－10﹢3.8運用加法法則進行運算）
＝7.8－10把符號相同的加數相結合，並進行運算）
＝－2.2得出結論）
ⅲ.把分母相同或便於通分的加數相結合（同分母結合法）
－－﹢－﹢－
原式＝－1﹢0－
＝－1ⅳ.既有小數又有分數的運算要統一後再結合（先統一後結合）
(﹢0.125)－(－3)﹢(－3)－(－10)－(﹢1.25)
蘇教版七年級下冊數學知識點
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