第一章：有理數及其運算
知識要求：
1、在具體情境中，理解有理數及其運算的意義；
2、能用數軸上的點表示有理數，會比較有理數的大小。
3、借助數軸理解相反數與絕對值的意義，會求有理數的相反數與絕對值。
4、經歷探索有理數運算法則和運算律的過程；掌握有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算；理解有理數的運算律，並能利用運算律簡化運算，及能運用有理數及其運算律解決簡單的實際問題。
知識重點：
絕對值的概念和有理數的運算（包括法則、運算律、運算順序、混合運算）是本章的重點。
知識難點：
絕對值的概念及有關計算，有理數的大小比較，及有理數的運算是本章的難點。
考點：絕對值的有關概念和計算，有理數的有關概念及混合運算是考試的重點物件。
知識點：
一、有理數的基礎知識
1、三個重要的定義
（1）正數：像1、2.5、這樣大於0的數叫做正數；（2）負數：
在正數前面加上「－」號，表示比0小的數叫做負數；（3）0即不是正數也不是負數，0是乙個具有特殊意義的數字，0是正數和負數的分界，不是表示不存在或無實際意義。
概念剖析：判斷乙個數是否是正數或負數，不能用數的前面加不加「+」「－」去判斷，要嚴格按照「大於0的數叫做正數；0小的數叫做負數」去識別。
正數和負數的應用：正數和負數通常表示具有相反意義的量。
所有正整數組成正整數集合；所有負整數組成負整數集合；正整數、0、負整數統稱為整數，正整數、0、負整數組成整數集合；
常常有溫差、時差、高度差(海拔差)等等差之說，其演算法為高溫減低溫等等；
例1 下列說法正確的是
a、乙個數前面有「－」號，這個數就是負數； b、非負數就是正數；
c、乙個數前面沒有「－」號，這個數就是正數； d、0既不是正數也不是負數；
例2 把下列各數填在相應的大括號中 8，，0.125，0，，，，
正整數集合整數集合
負整數集合正分數集合
例3 如果向南走公尺記為是公尺，那麼向北走公尺記為是0公尺的意義是
例4 對某種盒裝牛奶進行質量檢測，一盒裝牛奶超出標準質量2克，記作+2克，那麼克表示
知識視窗：正數和負數通常表示具有相反意義的量，乙個記為正數，另乙個就記為負數，我們習慣上把向東、向北、上公升、盈利、運進、增加、收入、高於海平面等等規定為正，把相反意義的量規定為負。
例5 若，則是若，則是若，則是若，則是填正數、負數或0）
2、有理數的概念及分類
整數和分數統稱為有理數。
有理數的分類如下：
（1）按定義分類2）按性質符號分類：
概念剖析：整數和分數統稱為有理數，也就是說如果乙個數是有理數，則它就一定可以化成整數或分數；
正有理數和0又稱為非負有理數，負有理數和0又稱為非正有理數
整數和分數都可以化成小數部分為0或小數部分不為0的小數，但並不是所有小數都是有理數，只有有限小數和無限迴圈小數是有理數；
例6 若為無限不迴圈小數且，是的小數部分，則是（ ）
a、無理數 b、整數 c、有理數 d、不能確定
例7 若為有理數，則不可能是（ ）
a、整數 b、整數和分數 c、 d、
3、數軸
標有原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸。
數軸有三要素：原點、正方向、單位長度。畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（叫做原點），選取某一長度作為單位長度，規定直線上向右的方向為正方向，就得到數軸。
在數軸上所表示的數，右邊的數總比左邊的數大，即從數軸的左邊到右邊所對應的數逐漸變大，所以正數都大於0，負數都小於0，正數大於負數。
概念剖析：畫數軸時數軸的三要素原點、正方向、單位長度缺一不可；
數軸的方向不一定都是水平向右的，數軸的方向可以是任意的方向；
數軸上的單位長度沒有明確的長度，但單位長度與單位長度要保持相等；
有理數在數軸上都能找到點與之對應，一般地，設是乙個正數，則數軸上表示數的點在原點的右邊，與原點的距離是個單位長度；表示數的點在原點的左邊，與原點的距離是個單位長度。
在數軸上求任意兩點a、b的距離l,則有公式，這兩個公式選擇那個都一樣。
例8 在數軸上表示數3的點到表示數的點之間的距離是10，則數若在數軸上表示數3的點到表示數的點之間的距離是，則數
例9 a,b兩數在數軸上的位置如圖，則下列正確的是（ ）
a、 a+b＜0 b、 ab＜0 c、＜0 d、
例10 下列數軸畫正確的是（ ）
4、相反數
如果兩個數只有符號不同，那麼其中乙個數就叫另乙個數的相反數。0的相反數是0，互為相反的兩個數，在數軸上位於原點的兩則，並且與原點的距離相等。
概念剖析： 「如果兩個數只有符號不同，那麼其中乙個數就叫另乙個數的相反數」，不要茫然的認為「如果兩個數符號不同，那麼其中乙個數就叫另乙個數的相反數」。
很顯然，數的相反數是，即與互為相反數。要把它與倒數區分開。
互為相反數的兩個數在數軸上對應的點乙個在原點的左邊，乙個在原點的右邊，且離原點的距離相等，也就是說它們關於原點對稱。
在數軸上離某點的距離等於的點有兩個。
如果數和數互為相反數，則+=0；或；
求乙個數的相反數，只要在這個數的前面加上「—」即可；例如的相反數是；
例11 下列說法正確的是（ ）
a、若兩個數互為相反數，則這兩個數一定是乙個正數，乙個負數；
b、如果兩個數互為相反數，則它們的商為-1；
c、如果+=0，則數和數互為相反數；
d、互為相反數的兩個數一定不相等；
例12 求出下列各數的相反數
例13 化簡下列各數的符號
知識視窗：乙個數前面加上「—」號，該數就成了它的相反數；
乙個數前面的符號確定方法：奇數個負號相當於乙個負號，偶數個負號相當於乙個正號，而與正號的個數無關。
5、絕對值
數軸上表示數的點與原點的距離叫做數的絕對值。
（1）絕對值的幾何意義：乙個數的絕對值就是數軸上表示該數的點與原點的距離。
（2）絕對值的代數意義：乙個正數的絕對值是它本身；0的絕對值是0；乙個負數的絕對值是它的相反數，可用字母a表示如下：
（3）兩個負數比較大小，絕對值大的反而小。
概念剖析： 「乙個數的絕對值就是數軸上表示該數的點與原點的距離」，而距離是非負，也就是說任何乙個數的絕對值都是非負數，即。
互為相反數的兩個數離原點的距離相等，也就是說互為相反數的兩個數絕對值相等。
例14 如果兩個數的絕對值相等，那麼這兩個數是( )
a、互為相反數 b、相等 c、積為0d、互為相反數或相等
例15 已知ab>0,試求的值。
例16 若|x|=-x，則x是_________數；
例17 若│χ+3∣+∣y—2∣=0，則
例18 將下列各數從大到小排列起來
0、 、 、
例19 如果兩個數和的絕對值相等，則下列說法正確的是（ ）
a、 b、 cd、不能確定
二、有理數的運算
1、有理數的加法
（1）有理數的加法法則：同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加；絕對值不等的異號兩數相加，取絕對值較大數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反的兩個數相加得0；乙個數同0相加，仍得這個數。
例20 計算下列各式
（– 3）–（– 4）+7
+（2）有理數加法的運算律：
加法的交換律 ：a+b=b+a；加法的結合律：( a+b ) +c = a + (b +c)
知識視窗：用加法的運算律進行簡便運算的基本思路是：先把互為相反數的數相加；把同分母的分數先相加；把符號相同的數先相加；把相加得整數的數先相加。
例21 計算下列各式
2、有理數的減法
（1）有理數減法法則：減去乙個數等於加上這個數的相反數。
（2）有理數減法常見的錯誤：顧此失彼，沒有顧到結果的符號；仍用小學計算的習慣，不把減法變加法；只改變運算符號，不改變減數的符號，沒有把減數變成相反數。
（3）有理數加減混合運算步驟：先把減法變成加法，再按有理數加法法則進行運算；
概念剖析：減法是加法的逆運算，用法則「減去乙個數等於加上這個數的相反數」即可轉化。
轉化後它滿足加法法則和運算律。
例22 計算：
例23 月球表面的溫度中午是，半夜是，中午比半夜高多少度？
例24 已知是6的相反數，比的相反數小5，求比大多少？
3、有理數的乘法
（1）有理數乘法的法則：兩個有理數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘；任何數與0相乘都得0。
（2）有理數乘法的運算律：交換律：ab=ba；結合律：(ab)c=a(bc)；交換律：a(b+c)=ab+ac。
（3）倒數的定義：乘積是1的兩個有理數互為倒數，即ab=1，那麼a和b互為倒數；倒數也可以看成是把分子分母的位置顛倒過來。
概念剖析： 「兩個有理數相乘，同號得正，異號得負」不要誤認為成「同號得正，異號得負」
多個有理數相乘時，積的符號確定規律：多個有理數相乘，若有乙個因數為0，則積為0；幾個都不為0的因數相乘，積的符號由負因數的個數來決定，當負因數的個數為奇數時，積為負；當負因數的個數為偶數時，積為正。
有理數乘法的計算步驟：先確定積的符號，再求各因數絕對值的積。
蘇教版七年級數學知識點總結
第一冊第一章數學與我們同行 第二章有理數 2.1正數和負數 以前學過的0以外的數前面加上負號 的數叫做負數，像 154，38.87，117.3，0.102 以前學過的0以外的數叫做正數，像8844.43，100，357，78 數0既不是正數也不是負數，0是正數與負數的分界。在同乙個問題中，分別用正數...
人教版七年級數學知識點彙總
1.有理數 1 凡能寫成形式的數，都是有理數，整數和分數統稱有理數.注意 0即不是正數，也不是負數 a不一定是負數，a也不一定是正數 不是有理數 2 有理數的分類 3 注意 有理數中，1 0 1是三個特殊的數，它們有自己的特性 這三個數把數軸上的數分成四個區域，這四個區域的數也有自己的特性 4 自然...
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在平面內，不重合的兩條直線的位置關係只有兩種 相交與平行。互為鄰補角 定義 如果兩個角有一條公共邊且有乙個公共頂點，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關係的兩個角互為鄰補角。性質 從位置看 互為鄰角 從數量看 互為補角 互為對頂角 定義 如果兩個角有有乙個公共頂點且它們的兩邊互為反向延長線，具有這...