數列知識點回顧
第一部分:數列的基本概念
1.理解數列定義的四個要點
⑴數列中的數是按一定「次序」排列的,在這裡,只強調有「次序」,而不強調有「規律」.因此,如果組成兩個數列的數相同而次序不同,那麼它們就是不同的數列.
⑵在數列中同乙個數可以重複出現.
⑶項a與項數n是兩個根本不同的概念.
⑷數列可以看作乙個定義域為正整數集(或它的有限子集)的函式當自變數從小到大依次取值時對應的一列函式值,但函式不一定是數列.
2.數列的通項公式
乙個數列的第n項a與項數n之間的函式關係,如果用乙個公式a=來表示,就把這個公式叫做數列的通項公式。若給出數列的通項公式,則這個數列是已知的。若數列的前n項和記為s,則s與a的關係是:
a=。第二部分:等差數列
1.等差數列定義的幾個特點:
⑴公差是從第一項起,每一項減去它前一項的差(同一常數),即d = a-a(n≥2)或d = a-a (nn).
⑵要證明乙個數列是等差數列,必須對任意nn,a-a= d (n≥2)或d = a-a都成立.一般採用的形式為:
1 當n≥2時,有a-a= d (d為常數).
②當n時,有a-a= d (d為常數).
③當n≥2時,有a-a= a-a成立.
若判斷數列不是等差數列,只需有a-a≠a-a即可.
2.等差中項
若a、a、b成等差數列,即a=,則a是a與b的等差中項;若a=,則a、a、b成等差數列,故a=是a、a、b成等差數列,的充要條件。由於a=,所以,等差數列的每一項都是它前一項與後一項的等差中項。
3.等差數列的基本性質
⑴公差為d的等差數列,各項同加一數所得數列仍是等差數列,其公差仍為d.
⑵公差為d的等差數列,各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列,其公差為kd.
⑶若、為等差數列,則與(k、b為非零常數)也是等差數列.
⑷對任何m、n,在等差數列中有:a= a+ (n-m)d,特別地,當m = 1時,便得等差數列的通項公式,此式較等差數列的通項公式更具有一般性.
⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數,且l + k + p + … = m + n + r + … (兩邊的自然數個數相等),那麼當為等差數列時,有:a+ a+ a+ … = a+ a+ a+ … .
⑹公差為d的等差數列,從中取出等距離的項,構成乙個新數列,此數列仍是等差數列,其公差為kd( k為取出項數之差).
⑺如果是等差數列,公差為d,那麼,a,a,…,a、a也是等差數列,其公差為-d;在等差數列中,a-a= a-a= md .(其中m、k、)
⑻在等差數列中,從第一項起,每一項(有窮數列末項除外)都是它前後兩項的等差中項.
⑼當公差d>0時,等差數列中的數隨項數的增大而增大;當d<0時,等差數列中的數隨項數的減少而減小;d=0時,等差數列中的數等於乙個常數.
⑽設a,a,a為等差數列中的三項,且a與a,a與a的項距差之比=(≠-1),則a=.
4.等差數列前n項和公式s=與s= na+的比較
5.等差數列前n項和公式s的基本性質
⑴數列為等差數列的充要條件是:數列的前n項和s可以寫成s= an+ bn的形式(其中a、b為常數).
⑵在等差數列中,當項數為2n (nn)時,s-s= nd,=;當項數為(2n-1) (n)時,s-s= a,=.
⑶若數列為等差數列,則s,s-s,s-s,…仍然成等差數列,公差為.
⑷若兩個等差數列、的前n項和分別是s、t(n為奇數),則=.
⑸在等差數列中,s= a,s= b (n>m),則s=(a-b).
⑹等差數列中,是n的一次函式,且點(n,)均在直線y =x + (a-)上.
⑺記等差數列的前n項和為s.①若a>0,公差d<0,則當a≥0且a≤0時,s最大;②若a<0 ,公差d>0,則當a≤0且a≥0時,s最小.
第三部分:等比數列
1.正確理解等比數列的含義
⑴q是指從第2項起每一項與前一項的比,順序不要錯,即q = (n)或q = (n≥2).
⑵由定義可知,等比數列的任意一項都不為0,因而公比q也不為0.
⑶要證明乙個數列是等比數列,必須對任意n,= q;或= q (n≥2)都成立.
2.等比中項與等差中項的主要區別
如果g是a與b的等比中項,那麼=,即g= ab,g =±.所以,只要兩個同號的數才有等比中項,而且等比中項有兩個,它們互為相反數;如果a是a與b的等差中項,那麼等差中項a唯一地表示為a=,其中,a與b沒有同號的限制.在這裡,等差中項與等比中項既有數量上的差異,又有限制條件的不同.
3.等比數列的基本性質
⑴公比為q的等比數列,從中取出等距離的項,構成乙個新數列,此數列仍是等比數列,其公比為q( m為等距離的項數之差).
⑵對任何m、n,在等比數列中有:a= a· q,特別地,當m = 1時,便得等比數列的通項公式,此式較等比數列的通項公式更具有普遍性.
⑶一般地,如果t ,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數,且t + k,p,…,m + … = m + n + r + … (兩邊的自然數個數相等),那麼當為等比數列時,有:a.a.a.… = a.a.a.… ..
⑷若是公比為q的等比數列,則、、、{}也是等比數列,其公比分別為| q |}、、、{}.
⑸如果是等比數列,公比為q,那麼,a,a,a,…,a,…是以q為公比的等比數列.
⑹如果是等比數列,那麼對任意在n,都有a·a= a·q>0.
⑺兩個等比數列各對應項的積組成的數列仍是等比數列,且公比等於這兩個數列的公比的積.
⑻當q>1且a>0或0<q<1且a<0時,等比數列為遞增數列;當a>0且0<q<1或a<0且q>1時,等比數列為遞減數列;當q = 1時,等比數列為常數列;當q<0時,等比數列為擺動數列.
4.等比數列前n項和公式s的基本性質
⑴如果數列是公比為q 的等比數列,那麼,它的前n項和公式是s=
也就是說,公比為q的等比數列的前n項和公式是q的分段函式的一系列函式值,分段的界限是在q = 1處.因此,使用等比數列的前n項和公式,必須要弄清公比q是可能等於1還是必不等於1,如果q可能等於1,則需分q = 1和q≠1進行討論.
⑵當已知a,q,n時,用公式s=;當已知a,q,a時,用公式s=.
⑶若s是以q為公比的等比數列,則有s= s+qs.⑵
⑷若數列為等比數列,則s,s-s,s-s,…仍然成等比數列.
⑸若項數為3n的等比數列(q≠-1)前n項和與前n項積分別為s與t,次n項和與次n項積分別為s與t,最後n項和與n項積分別為s與t,則s,s,s成等比數列,t,t,t亦成等比數列.
二、難點突破
1.並不是所有的數列都有通項公式,乙個數列有通項公式在形式上也不一定唯一.已知乙個數列的前幾項,這個數列的通項公式更不是唯一的.
2.等差(比)數列的定義中有兩個要點:一是「從第2項起」,二是「每一項與它前一項的差(比)等於同乙個常數」.這裡的「從第2項起」是為了使每一項與它前面一項都確實存在,而「同乙個常數」則是保證至少含有3項.所以,乙個數列是等差(比)數列的必要非充分條件是這個數列至少含有3項.
3.數列的表示方法應注意的兩個問題:⑴與a是不同的,前者表示數列a,a,…,a,…,而後者僅表示這個數列的第n項;⑵數列a,a,…,a,…,與集合不同,差別有兩點:數列是一列有序排布的數,而集合是乙個有確定範圍的整體;數列的項有明確的順序性,而集合的元素間沒有順序性.
4.注意設元的技巧時,等比數列的奇數個項與偶數個項有區別,即:
⑴對連續奇數個項的等比數列,若已知其積為s,則通常設…,aq, aq, a,aq,aq,…;
⑵對連續偶數個項同號的等比數列,若已知其積為s,則通常設…,aq, aq, aq,aq,….
5.乙個數列為等比數列的必要條件是該數列各項均不為0,因此,在研究等比數列時,要注意a≠0,因為當a= 0時,雖有a= a· a成立,但不是等比數列,即「b= a · c」是a、b、 c成等比數列的必要非充分條件;對比等差數列,「2b = a + c」是a、b、 c成等差數列的充要條件,這一點同學們要分清.
6.由等比數列定義知,等比數列各項均不為0,因此,判斷一數列是否成等比數列,首先要注意特殊情況「0」.等比數列的前n項和公式蘊含著分類討論思想,需分分q = 1和q≠1進行分類討論,在具體運用公式時,常常因考慮不周而出錯.
數列基礎知識定時練習題
(滿分為100分+附加題20分,共120分;定時練習時間120分鐘)
一、選擇題(本大題共15小題,每小題3分,共45分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.下列四個數中,哪乙個是數列{}中的一項
(a)380b)39c)35d)23
2.在等差數列中,公差,,則的值為( )
(a)40b)45c)50d)55
3.一套共7冊的書計畫每2年出一冊,若各冊書的出版年份數之和為13979,則出齊這套書的年份是( )
(a)1997b)1999c)2001d)2003
4.乙個項數是偶數的等比數列,它的偶數項的和是奇數項和的2倍,又它的首項為1,且中間兩項的和為24,則此等比數列的項數為( )
(a)12b)10c)8d)6
數列經典測試題及答案 學生版
數列測試題 一 選擇題 1 2010全國卷2理數 如果等差數列中,那麼 a 14b 21c 28d 35 2 2010遼寧文數 設為等比數列的前項和,已知,則公比 a 3b 4c 5d 6 3 2010安徽文數 設數列的前n項和,則的值為 a 15b 16c 49d 64 4 2010浙江文數 設為...
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高考遞推數列題型分類歸納解析 各種數列問題在很多情形下,就是對數列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數列問題中,數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的瓶頸。我現在總結出幾種求解數列通項公式的方法,希望能對大家有幫助。型別1解法 把原遞推公式轉化為,利用累加法 逐差相加法 求解。例1.已知...
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數列1 數列 按照一定順序排列著的一列數 2 數列的項 數列中的每乙個數 3 有窮數列 項數有限的數列 4 無窮數列 項數無限的數列 5 遞增數列 從第2項起,每一項都不小於它的前一項的數列 6 遞減數列 從第2項起,每一項都不大於它的前一項的數列 7 常數列 各項相等的數列 8 擺動數列 從第2項...