九年級上冊知識點
第一單元二次根式
1、二次根式
式子叫做二次根式,二次根式必須滿足:含有二次根號「」;被開方數a必須是非負數。
2、最簡二次根式
3、同類二次根式
4、二次根式的性質
(1)(2)
(3)(4)
5、二次根式混合運算
二次根式的混合運算與實數中的運算順序一樣,先乘方,再乘除,最後加減,有括號的先算括號裡的(或先去括號)。
第二單元一元二次方程
一、一元二次方程
1、一元二次方程
含有乙個未知數,並且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
,它的特徵是:等式左邊十乙個關於未知數x的二次多項式,等式右邊是零,其中叫做二次項,a叫做二次項係數;bx叫做一次項,b叫做一次項係數;c叫做常數項。
二、一元二次方程的解法
1、直接開平方法
利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用於解形如的一元二次方程。根據平方根的定義可知,是b的平方根,當時,,,當b<0時,方程沒有實數根。
2、配方法
配方法的理論根據是完全平方公式,把公式中的a看做未知數x,並用x代替,則有。
3、公式法
一元二次方程的求根公式:
4、因式分解法
三、一元二次方程根的判別式
根的判別式
一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判別式,通常用「」來表示,即
四、一元二次方程根與係數的關係
如果方程的兩個實數根是,那麼,。也就是說,對於任何乙個有實數根的一元二次方程,兩根之和等於方程的一次項係數除以二次項係數所得的商的相反數;兩根之積等於常數項除以二次項係數所得的商。
第三單元旋轉
一、旋轉
1、定義:把乙個圖形繞某一點o轉動乙個角度的圖形變換叫做旋轉,其中o叫做旋轉中心,轉動的角叫做旋轉角。
2、性質
(1)對應點到旋轉中心的距離相等。
(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角。
二、中心對稱
1、定義
把乙個圖形繞著某乙個點旋轉180°,如果旋轉後的圖形能夠和原來的圖形互相重合,那麼這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心。
2、性質
(1)關於中心對稱的兩個圖形是全等形。
(2)關於中心對稱的兩個圖形,對稱點連線都經過對稱中心,並且被對稱中心平分。
(3)關於中心對稱的兩個圖形,對應線段平行(或在同一直線上)且相等。
3、判定
如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點,並且被這一點平分,那麼這兩個圖形關於這一點對稱。
4、中心對稱圖形
把乙個圖形繞某乙個點旋轉180°,如果旋轉後的圖形能夠和原來的圖形互相重合,那麼這個圖形叫做中心對稱圖形,這個店就是它的對稱中心。
5、座標系中對稱點的特徵
1、關於原點對稱的點的特徵:點p(x,y)關於原點的對稱點為p』(-x,-y)
2、關於x軸對稱的點的特徵:點p(x,y)關於x軸的對稱點為p』(x,-y)
3、關於y軸對稱的點的特徵:點p(x,y)關於y軸的對稱點為p』(-x,y)
第四單元圓
一、圓的相關概念
1、圓的定義
在乙個個平面內,線段oa繞它固定的乙個端點o旋轉一周,另乙個端點a隨之旋轉所形成的圖形叫做圓,固定的端點o叫做圓心,線段oa叫做半徑。
2、圓的幾何表示
以點o為圓心的圓記作「⊙o」,讀作「圓o」
二、弦、弧等與圓有關的定義
(1)弦:連線圓上任意兩點的線段叫做弦。(如圖中的ab)
(2)直徑:經過圓心的弦叫做直徑。(如途中的cd)直徑等於半徑的2倍。
(3)半圓:圓任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧,每一條弧都叫做半圓。
(4)弧、優弧、劣弧
圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧。
大於半圓的弧叫做優弧(多用三個字母表示);小於半圓的弧叫做劣弧。
三、垂徑定理及其推論
垂徑定理:垂直於弦的直徑平分這條弦,並且平分弦所對的弧。
推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的兩條弧。
(2)弦的垂直平分線經過圓心,並且平分弦所對的兩條弧。
(3)平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦,並且平分弦所對的另一條弧。
推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
垂徑定理及其推論可概括為:
過圓心垂直於弦
直徑平分弦知二推三
平分弦所對的優弧
平分弦所對的劣弧
四、圓的對稱性
1、圓的軸對稱性
圓是軸對稱圖形,經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。
2、圓的中心對稱性
圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。
五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關係定理
1、圓心角:頂點在圓心的角叫做圓心角。
2、弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關係定理
在同圓或等圓中,相等圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦的弦心距相等。
六、圓周角定理及其推論
一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半。
推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧也相等。
推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑。
推論3:如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半,那麼這個三角形是直角三角形。
七、點和圓的位置關係
設⊙o的半徑是r,點p到圓心o的距離為d,則有:
dr點p在⊙o外。
八、過三點的圓
1、過三點的圓:不在同一直線上的三個點確定乙個圓。
2、三角形的外接圓:經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。
3、三角形的外心
三角形的外接圓圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點,它叫做這個三角形的外心。
4、圓內接四邊形性質(四點共圓的判定條件): 圓內接四邊形對角互補。
九、反證法
先假設命題中的結論不成立,然後由此經過推理,引出矛盾,判定所做的假設不正確,從而得到原命題成立,這種證明方法叫做反證法。
十、直線與圓的位置關係
直線和圓有三種位置關係,具體如下:
(1)相交:(2)相切:(3)相離。
如果⊙o的半徑為r,圓心o到直線l的距離為d,那麼:直線l與⊙o相交dr;
十一、切線的判定和性質
1、切線的判定定理:經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
2、切線的性質定理:圓的切線垂直於經過切點的半徑。
十二、切線長定理
切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
十三、三角形的內切圓
1、三角形的內切圓
2、三角形的內心
十四、圓和圓的位置關係
1、圓和圓的位置關係
如果兩個圓沒有公共點,那麼就說這兩個圓相離,相離分為外離和內含兩種。
如果兩個圓只有乙個公共點,那麼就說這兩個圓相切,相切分為外切和內切兩種。
如果兩個圓有兩個公共點,那麼就說這兩個圓相交。
2、圓心距:兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。
3、圓和圓位置關係的性質與判定
設兩圓的半徑分別為r和r,圓心距為d,那麼
兩圓外離d>r+r;兩圓外切d=r+r;兩圓相交r-r兩圓內切d=r-r(r>r);兩圓內含dr)
4、兩圓相切、相交的重要性質
如果兩圓相切,那麼切點一定在連心線上,它們是軸對稱圖形,對稱軸是兩圓的連心線;相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。
十五、與正多邊形有關的概念
1、正多邊形的中心;2、正多邊形的半徑;
3、正多邊形的邊心距;4、中心角
十六、弧長和扇形面積
1、弧長公式:n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為
2、扇形面積公式
其中n是扇形的圓心角度數,r是扇形的半徑,l是扇形的弧長。
3、圓錐的側面積
其中l是圓錐的母線長,r是圓錐的地面半徑。
補充: 1、相交弦定理
⊙o中,弦ab與弦cd相交與點e,則aebe=cede
2、弦切角定理
弦切角:圓的切線與經過切點的弦所夾的角,叫做弦切角。
弦切角定理:弦切角等於弦與切線夾的弧所對的圓周角。
即:∠bac=∠adc
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