第二十一章二次根式 1
21.1 二次根式 1
21.2 二次根式的乘除 2
21.3 二次根式的加減 3
第二十二章一元二次方程 5
22.1 一元二次方程 5
22.2 降次——解一元二次方程 5
22.3 實際問題與一元二次方程 6
第二十三章旋轉 6
23.1 圖形的旋轉 6
23.2 中心對稱 7
23.3 課題學習圖案設計 7
第二十四章圓 8
24.1 圓 8
24.2 點、直線、圓和圓的位置關係 9
24.3 正多邊形和圓 10
24.4 弧長和扇形面積 14
第二十五章概率初步 17
25.1 隨機事件與概率 17
25.2 用列舉法求概率 21
25.3 用頻率估計概率 22
第二十一章二次根式
21.1 二次根式
1.二次根式：式子 (a≥0)叫做二次根式。
2.最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式；
（1）被開方數的因數是整數，因式是整式；
（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。如不是最簡二次根式，因被開方數中含有4是可開得盡方的因數，又如都不是最簡二次根式，而 ， ，5 ， 都是最簡二次根式。
3.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以後，如果被開方數相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。
如 , , 就是同類二次根式，因為 =2 ， =3 ，它們與的被開方數均為2。
4.有理化因式：兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說這兩個代數式互為有理化因式。如與 ，a+ 與a- ， - 與 + ，互為有理化因式。
二次根式的性質：
1. (a≥0)是乙個非負數, 即 ≥0;
2.非負數的算術平方根再平方仍得這個數，即：( )2=a(a≥0)；
3.某數的平方的算術平方根等於某數的絕對值，即 =|a|=
4.非負數的積的算術平方根等於積中各因式的算術平方根的積，即 = · （a≥0,b≥0）。
5.非負數的商的算術平方根等於被除式的算術平方**以除式的算術平方根，即 = （a≥0,b>0）。
21.2 二次根式的乘除
1. 二次根式的乘法
兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變，即（≥0，≥0）。
說明：（1）法則中、可以是單項式，也可以是多項式，要注意它們的取值範圍，、都是非負數；
（2）（≥0，≥0）可以推廣為（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。
（3）等式（≥0，≥0）也可以倒過來使用，即（≥0，≥0）。也稱「積的算術平方根」。它與二次根式的乘法結合，可以對一些二次根式進行化簡。
2. 二次根式的除法
兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變，即（≥0，＞0）。
說明：（1）法則中、可以是單項式，也可以是多項式，要注意它們的取值範圍，≥0，在分母中，因此＞0；
（2）（≥0，＞0）可以推廣為（≥0，＞0，≠0）；
（3）等式（≥0，＞0）也可以倒過來使用，即（≥0，＞0）。也稱「商的算術平方根」。它與二根式的除法結合，可以對一些二次根式進行化簡。
3. 最簡二次根式
乙個二次根式如果滿足下列兩個條件：
（1）被開方數中不含能開方開得盡的因數或因式；
（2）被開方數中不含分母。
這樣的二次根式叫做最簡二次根式。
說明：（1）這兩個條件必須同時滿足，才是最簡二次根式；
（2）被開方數若是多項式，需利用因式分解法把它們化成乘積式，再進行化簡；
（3）二次根式化簡到最後，二次根式不能出現在分母中，即分母中要不含二次根式。
21.3 二次根式的加減
1. 同類二次根式
（1）定義：幾個二次根式化成最簡二次根式後，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫同類二次根式。
注：判斷幾個二次根式是否為同類二次根式，關鍵是先把二次根式準確地化成最簡二次根式，再觀察它們的被開方數是否相同。
（2）合併同類二次根式：合併同類二次根式的方法與合併同類項的方法類似，係數相加減，二次根號及被開方數不變。
2. 二次根式的加減
（1）二次根式的加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再將同類二次根式分別合併。
（2）二次根式的加減法與多項式的加減法類似，首先是化簡，在化簡的基礎上去括號再合併同類二次根式，同類二次根式相當於同類項。
一般地，二次根式的加減法可分以下三個步驟進行：
i）將每乙個二次根式都化簡成最簡二次根式
ii）判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類二次根式結合成一組
iii）合併同類二次根式
3. 二次根式的混合運算
二次根式的混合運算可以說是二次根式乘法、除法、加、減法則的綜合應用，在進行二次根式的混合運算時應注意以下幾點：
（1）觀察式子的結構，選擇合理的運算順序，二次根式的混合運算與實數的運算順序一樣，先乘方，後乘除，最後加減，有括號先算括號內的。
（2）在運算過程中，每個根式可以看作是乙個「單項式」，多個不同類的二次根式的和可以看作是「多項式」。
（3）觀察式中二次根式的特點，合理使用運算律和運算性質，在實數和整式中的運算律和運算性質，在二次根式的運算中都可以應用。
4. 分母有理化
（1）我們在前面的學習中研究了分母形如形式的分式的分母有理化
綜合起來，常見的有理化因式有：① 的有理化因式為 ，② 的有理化因式為 ，③ 的有理化因式為 ，④ 的有理化因式為 ，⑤ 的有理化因式為
（2）分母有理化就是通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程，混合運算中進行二次根式的除法運算，一般都是通過分母有理化而進行的。
第二十二章一元二次方程
22.1 一元二次方程
在乙個等式中，只含有乙個未知數，且未知數的最高次數是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四個特點：(1)只含有乙個未知數；(2)且未知數次數最高次數是2；(3)是整式方程．要判斷乙個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程． （4）將方程化為一般形式：ax^+bx+c=0時，應滿足（a≠0）
22.2 降次——解一元二次方程
解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：
1、直接開平方法：
用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解為x=± m.
直接開平方法就是平方的逆運算.通常用根號表示其運算結果.
2、配方法
通過配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。這種解一元二次方程的方法稱為配方法，配方的依據是完全平方公式。
1.轉化： 將此一元二次方程化為ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）
2.係數化1： 將二次項係數化為1
3.移項： 將常數項移到等號右側
4.配方： 等號左右兩邊同時加上一次項係數一半的平方
5.變形： 將等號左邊的代數式寫成完全平方形式
6.開方： 左右同時開平方
7.求解： 整理即可得到原方程的根
3、公式法
公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項係數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
22.3 實際問題與一元二次方程
列一元二次方程解應用題是列一元一次方程解應用題的繼續和發展
從列方程解應用題的方法來講，列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題是非常相似的，由於一元一次方程未知數是一次，因此這類問題大部分都可通過算術方法來解決．如果未知數出現二次，用算術方法就很困難了，正由於未知數是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關面積問題，經過兩次增長的平均增長率問題，數學問題中涉及積的一些問題，經營決策問題等等．
第二十三章旋轉
23.1 圖形的旋轉
1. 圖形的旋轉
（1）定義：在平面內，將乙個圓形繞乙個定點沿某個方向（順時針或逆時針）轉動乙個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉，這個定點叫做旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角。
（2）生活中的旋轉現象大致有兩大類：一類是物體的旋轉運動，如時鐘的時針、分針、秒針的轉動，風車的轉動等；另一類則是由某一基本圖形通過旋轉而形成的圖案，如香港特別行政區區旗上的紫荊花圖案。
（3）圖形的旋轉不改變圖形的大小和形狀，旋轉是由旋轉中心和旋轉角所決定，旋轉中心可以在圖形上也可以在圖形外。
（4）會找對應點，對應線段和對應角。
2. 旋轉的基本特徵：
（1）圖形在旋轉時，圖形中的每乙個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。
（2）圖形在旋轉時，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等；
（3）圖形在旋轉時，圖形的大小和形狀都沒有發生改變。
人教版數學九年級上冊知識點歸納
九年級上冊知識點 第一單元二次根式 1 二次根式 式子叫做二次根式，二次根式必須滿足 含有二次根號 被開方數a必須是非負數。2 最簡二次根式 若二次根式滿足 被開方數的因數是整數，因式是整式 被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式。化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟 ...
人教版數學九年級上冊知識點歸納
4 在半徑為2的圓中有乙個內接正方形，現隨機地往圓內投一粒公尺，落在正方形內的概率為 注 取3 答案 考點 幾何概率，圓內接正方形的性質，勾股定理。分析 根據已知首先求出圓的面積以及正方形的邊長，從而得出正方形的面積，即可根據概率公式得出落在正方形內的概率 如圖，由勾股定理，得ab2 bo2 ao2...
人教版數學九年級上冊知識點歸納
九年級上冊知識點 第一單元二次根式 1 二次根式 式子叫做二次根式，二次根式必須滿足 含有二次根號 被開方數a必須是非負數。2 最簡二次根式 若二次根式滿足 被開方數的因數是整數，因式是整式 被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式。化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟 ...