第二十一章二次根式
21.1 二次根式
知識點一二次根式的概念
(1) 一般地,我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式。二次根式的實質是乙個非負數a的算術平方根。其中「」叫做二次根號。
(2) 正確理解二次根式的概念，要把握以下幾點：
1 二次根式是在形式上定義的，必須含有二次根號「」。如是二次根式，雖然=2，但2不是二次根式。
2 被開方數a必須是非負數，即a≥0.如就不是二次根式，但式子2是二次根式。
3 「」的根指數為2，即「」，一般省略根指數2，寫作「」，注意，不可誤認為根指數是「1」或「0」。
提示：判斷是不是二次根式，一看形式，二看數值，即形式上要有二次根號，被開方數要是非負數。
知識點二二次根式的性質
（1）（a≥0）既是二次根式，又是非負數的算術平方根，所以它一定是非負數，即≥（a≥0），我們把這個性質叫做二次根式的非負性。
（2）（）2 = a （a≥0），這個性質可以正用，也可以逆用，正用時常用於二次根式的化簡和計算，可以去掉根號；逆用時可以把乙個非負數寫成完整平方數的形式，常用於多項式的因式分解。
（3）2 = a (a≥0)，這個性質可以正用，也可以逆用，正用時用於二次根式的化簡，即當被開方數能化為完全平方數（式）時，就可以利用該性質去掉根號；逆用時可以把乙個非負數化為乙個二次根式。
知識點三代數式
定義：用基本運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數和表示數的字母連線起來的式子，叫做代數式。
21.2 二次根式的乘除
知識點一二次根式的乘法法則
一般地，對二次根式的乘法規定：·= (a≥0,b≥0)，即二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變。
知識點二積的算術平方根的性質
=·（a≥0，b≥0），積的算術平方根等於積中各個因式的算術平方根的積。
知識點三二次根式的除法法則
一般地，對二次根式的除法規定： =（a≥0，b＞0），即兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變。
知識點四商的算術平方根的性質
=（a≥0,b＞0），即商的算術平方根等於被除式的算術平方**以除式的算術平方根。
知識點五最簡二次根式
必須滿足以下兩個條件：
（1） 被開方數不含分母； ⑵被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。
21.3 二次根式的加減
知識點一二次根式的加減
二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式合併，二次根式加減法的實質是將被開方數相同的二次根式合併，合併時只把係數相加減，根指數和被開方數不變。
知識點二二次根式的混合運算
（1） 二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序相同：先乘方開方，再乘除，最後加減，有括號的先算括號裡面的。
（2） 在二次根式的運算中乘法法則和乘法公式仍然適用。
22.1 一元二次方程
知識點一一元二次方程的定義
等號兩邊都是整式，只含有乙個未知數（一元），並且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下幾點：
1 只含有乙個未知數；②未知數的最高次數是2；③是整式方程。
知識點二一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次項，a是二次項係數；bx是一次項，b是一次項係數；c是常數項。
知識點三一元二次方程的根
使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據。
22.2 降次——解一元二次方程
22.2.1 配方法
知識點一直接開平方法解一元二次方程
（1） 如果方程的一邊可以化成含未知數的代數式的平方，另一邊是非負數，可以直接開平方。一般地，對於形如x2=a(a≥0)的方程，根據平方根的定義可解得x1=,x2=.
（2） 直接開平方法適用於解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。
（3） 用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質，即正數的平方根有兩個，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。
（4） 直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項；②使二次項係數或含有未知數的式子的平方項的係數為1；③兩邊直接開平方，使原方程變為兩個一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知識點二配方法解一元二次方程
通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把乙個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。
配方法的一般步驟可以總結為：一移、二除、三配、四開。
（1） 把常數項移到等號的右邊； ⑵方程兩邊都除以二次項係數；
3 方程兩邊都加上一次項係數一半的平方，把左邊配成完全平方式； ⑷ 若等號右邊為非負數，直接開平方求出方程的解。
22.2.2 公式法
知識點一公式法解一元二次方程
（1） 一般地，對於一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那麼方程的兩個根為x=，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的係數a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。
（2） 一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。
（3） 公式法解一元二次方程的具體步驟：
1 方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值 ②確定公式中a,b,c的值，注意符號；
③求出b2-4ac的值； ④若b2-4ac≥0，則把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無實數根。
知識點二一元二次方程根的判別式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b2-4ac.
0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數根
一元二次方程0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數根
根的判別式
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數根
22.2．3 因式分解法
知識點一因式分解法解一元二次方程
（1） 把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉化為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。
（2） 因式分解法的詳細步驟：
1 移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0；
2 把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；
3 令每乙個因式分別為零，得到一元一次方程；
4 解一元一次方程即可得到原方程的解。
知識點二用合適的方法解一元一次方程
22.2.4 一元二次方程的根與係數的關係
若一元二次方程x2+px+q=0的兩個根為x1,x2,則有x1+x2=-p,x1x2=q.
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有兩個實數根x1,x2,則有x1+x2=，,x1x2=
22.3 實際問題與一元二次方程
知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟：
（1） 審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關係。
（2） 設：是指設元，也就是設出未知數。
（3） 列：就是列方程，這是關鍵步驟,一般先找出能夠表達應用題全部含義的乙個相等含義，然後列代數式表示這個相等關係中的各個量，就得到含有未知數的等式，即方程。
（4） 解：就是解方程，求出未知數的值。
（5） 驗：是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。
（6） 答：寫出答案。
知識點二列一元二次方程解應用題的幾種常見型別
（1） 數字問題
三個連續整數：若設中間的乙個數為x，則另兩個數分別為x-1，x+1。
三個連續偶數（奇數）：若中間的乙個數為x，則另兩個數分別為x-2,x+2。
三位數的表示方法：設百位、十位、個位上的數字分別為a,b,c，則這個三位數是100a+10b+c.
（2） 增長率問題
設初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經過兩次的增長或降低後的等量關係為a（1）2=b。
（3）利潤問題
利潤問題常用的相等關係式有：①總利潤=總銷售價-總成本；②總利潤=單位利潤×總銷售量；③利潤=成本×利潤率
（4）圖形的面積問題
根據圖形的面積與圖形的邊、高等相關元素的關係，將圖形的面積用含有未知數的代數式表示出來，建立一元二次方程。
第二十三章旋轉
23.1 圖形的旋轉
知識點一旋轉的定義
在平面內，把乙個平面圖形繞著平面內某一點o轉動乙個角度，就叫做圖形的旋轉，點o叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。
我們把旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向稱為旋轉的三要素。
知識點二旋轉的性質
旋轉的特徵：（1）對應點到旋轉中心的距離相等；（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角；（3）旋轉前後的圖形全等。
理解以下幾點：
（1） 圖形中的每乙個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。（2）對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。（3）圖形的大小和形狀都沒有發生改變，只改變了圖形的位置。
知識點三利用旋轉性質作圖
旋轉有兩條重要性質：（1）任意一對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角；（2）對應點到旋轉中心的距離相等，它是利用旋轉的性質作圖的關鍵。步驟可分為：
①連：即連線圖形中每乙個關鍵點與旋轉中心； ②**即把直線按要求繞旋轉中心轉過一定角度（作旋轉角）
③截：即在角的另一邊上擷取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點； ④接：即連線到所連線的各點。
23.2 中心對稱
知識點一中心對稱的定義
中心對稱：把乙個圖形繞著某乙個點旋轉180°，如果它能夠與另乙個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關於這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。
人教版九年級數學上冊知識點總結
21.1 二次根式 概念 我們把形如 a 0 的式子叫做二次根式。二次根式的實質是乙個非負數a的算術平方根。其中 叫做二次根 注 二次根式是在形式上定義的，必須含有二次根號 如是二次根式，雖然 2，但2不是二次根式。被開方數a必須是非負數，即a 0.如就不是二次根式，但式子2是二次根式。提示 判斷是...
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九年級上冊 第二十一章二次根式 21.1 二次根式 知識點一二次根式的概念 1 一般地,我們把形如 a 0 的式子叫做二次根式。二次根式的實質是乙個非負數a的算術平方根。其中 叫做二次根號。2 正確理解二次根式的概念，要把握以下幾點 1 二次根式是在形式上定義的，必須含有二次根號 如是二次根式，雖然...
湘教版九年級數學上冊知識點歸納總結
5 說明 1 雙曲線的兩個分支是斷開的，研究反比例函式的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論 2 直線與雙曲線的關係 當時，兩圖象沒有交點 當時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關於原點成中心對稱 三 反比例函式的應用 1 求函式解析式的方法 1 待定係數法 2 根據實際意義列函式解析式 2...