在上述過程中，可以發現，一組資料與其平均數的離差的平方和最小，考慮用與其平均數的離差的平方和來刻畫一組資料的穩定程度是可行的．即本案例中，可用各次抗拉強度與平均抗拉強度的差的平方和表示．由於比較的兩組資料的容量可能不同，因此應將上述平方和除以資料的個數，我們把由此所得的值稱為這組資料的方差．
因為方差與原始資料的單位不同，且平方後可能誇大了離差的程度，我們將方差開方後的值稱為這組資料的標準差．標準差也可以刻畫資料的穩定程度．
一般地，設一組樣本資料，其平均數為，則稱
為這個樣本的方差，其算術平方根為樣本的標準差，分別簡稱樣本方差，樣本標準差．
根據上述方差計算公式可算得甲、乙兩個樣本的方差分別為50和165，故可認為甲種鋼筋的***於乙種鋼筋．
【精典範例】
例1 甲、乙兩種冬水稻試驗品種連續5年的平均單位面積產量如下（單位：t/hm2）, 試根據這組資料估計哪一種水稻品種的產量比較穩定：
【解】甲品種的樣本平均數為10，樣本方差為
＝0.02
乙品種的樣本平均數也為10，樣本方差為
＝0.24
例2 為了保護學生的視力，教室內的日光燈在使用一段時間後必須更換。已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數如下，試估計這種日光燈的平均使用壽命和標準差
【分析】用每一區間內的組中值作為相應日光燈的使用壽命，再求平均壽命。
【解】各組中值分別為165,195,225,255,285,315,
345,375，由此算得平均數約為
＝267.9
將各組中值對於此平均數求方差得
＝2128.60（天2）
故標準差約為
答：估計這種日光燈的平均使用壽命約為268天，標準差約為46天。
例3（1）求下列各組資料的方差與標準差（結果精確到0.1）：
（2）比較計算結果，各組方差和標準差的關係是什麼？
【解】(1) 甲：6.7，2.6； 乙：6.7，2.6
丙：666.7，25.8 丁：26.7，5.2
(2) 乙的方差與標準差分別與甲的相同；
丙的方差是甲的方差的100倍，標準差是甲的10倍；
丁的方差是甲的方差的4倍，標準差是甲的2倍
例4某市共有50萬戶居民，城市調查隊按千分之一的比例進行入戶調查，抽樣調查的結果如下
(1)一般工作人員家庭人均月收入的估計及其方差的估計；
(2)管理人員家庭人均月收入的估計及其方差的估計
(3)平均數的估計及總體方差的估計
【解】分組資料用組中值作為本組資料的代表。
(1) =995， =83475
(2) =1040， =90900
(3) =1004 =85284
追蹤訓練
1.若樣本，，，．．．，的平均數，方差，則樣本，，，．．．，的平均數＝______200.4_____．
2．若，…，的方差為3，則，，…，的方差為12。
3.計算下列兩組資料的平均數和標準差．
解：甲的平均數為：0.66
標準差：0.21
乙的平均數為：10
標準差：0.92
2 3 1方差與標準差
解 甲品種的樣本平均數為10，樣本方差為 9.8 10 2 9.9 10 2 10.1 10 2 10 10 2 10.2 10 2 5 0.02.乙品種的樣本平均數也為10，樣本方差為 9.4 10 2 10.3 10 2 10.8 10 2 9.7 10 2 9.8 10 2 5 0.24 因為...
22 2方差與標準差導學案
教學目標 1 了解方差的定義和計算公式。2.會用方差計算公式來比較兩組資料的波動大小。教學重點 掌握方差求法，教學難點 理解方差公式，應用方差對資料波動情況的比較 判斷。教學過程 一 情景創設 桌球的標準直徑為40mm，質檢部門從a b兩廠生產的桌球中各抽取了10只，對這些桌球的直徑了進行檢測。結果...
2 3 2《方差與標準差》導學案
2.3.2 方差與標準差 導學案 教學目標 1 通過例項是學生理解樣本資料的方差 標準差的意義和作用 2 學會計算資料的方差 標準差 3 使學生掌握通過合理抽樣對總體的穩定性水平作出科學估計的思想。教學重點 用樣本資料的方差和標準差估計總體的方差與標準差。教學難點 理解樣本資料的方差 標準差的意義和...