天津市教研室
如何借鑑2023年的高三複習經驗，搞好本屆高三複習工作，是每個高三數學教師都非常關注的問題。本文在對2023年高考數學試卷簡要分析的基礎上，談談對2023年高三數學複習教學的一些思考，旨在引起大家進一步的研究討論。
一、研讀課標考綱，明確考試要求
《高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱《課程標準》）《普通高等學校招生全國統一考試大綱》（以下簡稱《考試大綱》）和《天津卷考試說明》（以下簡稱《考試說明》），是高考命題的重要依據，也是學生備考和教師指導學生複習的重要依據。因此，我們必須認真研讀《課程標準》《考試大綱》和《考試說明》，特別要對「考試的內容與要求」深入研究，透徹理解，把握好複習方向，做到心中有數。
二、借鑑已有經驗，把握複習要點（很重要）
2023年是天津市實施高中新課改後的首次高考。2023年的高考數學試卷在重點考查高中數學主幹知識的同時注意考查了《課程標準》中的新增內容，既保證了平穩過渡，又體現了課改理念。試卷依綱靠本，重視數學基礎知識、基本技能、基本思想和方法以及數學思維能力和繼續學習潛能的考查，較全面地檢測了學生的數學素養。
2023年的高三複習，應在夯實基礎、提公升能力、增強素養的總的複習思想指導下，參考2023年高考的基本情況，從以下幾方面入手，把握複習要點，提高複習效率。
1.構建知識網路，進行全面複習
高中數學課程的必修內容和《考試說明》規定考查的選修內容都是高考必考的內容。天津市2023年高考的數學試卷考查的知識若按章計算（必修共16章，理科選修9章，選講2個專題；文科選修7章，選講1個專題），必修課程文、理科覆蓋率達到了100%；若按知識點計算，除理科選修及文科選修的統計案例未涉及，覆蓋率達70%。雖然近幾年的數學高考在提法上不再刻意追求知識的覆蓋，但其知識點的覆蓋率也不會低於60%，否則中學數學「基礎知識、基本技能、基本方法」的考查將很難實現。
因此，在複習時，特別是確定具體的複習內容時，必須堅持全面性原則，對高中數學課程的必修和選修的每一部分內容都應認真對待，不要遺漏或隨意放棄，毫無根據地捨棄一些內容的做法必將影響複習的質量。
全面複習的乙個重要方法就是梳理知識，構建合理的知識結構。新課程的數學教材是按照模組編排的，為了適應學習知識的螺旋上公升的規律，同一知識體系的內容會放到不同模組中去介紹，高三複習時應打破模組順序，按照學科內在的知識體系,將分散在必修課程與選修課程的同一知識體系的內容進行整合,建立條理化的知識結構。特別是在第一階段的複習中，教師應指導學生按照從大到小、先粗後細的順序，把教學中分割講授的知識點、知識單元組織合成知識鏈、知識體系、知識結構，實現基礎知識體系化，基本方法型別化，學科內容綜合化，解題步驟規範化。
如面對代數中的「三個二次」（一元二次方程、一元二次不等式、二次函式）時，應以二次方程為基礎、二次函式為主線，通過聯絡解析幾何、三角函式、帶引數的不等式等典型問題，形成乙個條理化、有序化、網路化的高效的有機認知結構。
2.抓住主幹知識，突出重點內容
《考試大綱》中明確指出：對於支撐學科知識體系的重點內容，要占有較大的比例，構成數學試卷的主體。因此，欲做到科學有效備考，在全面複習的同時，我們必須抓住數學的主幹知識，突出重點內容。
例如函式（函式概念、函式性質、函式圖象，導函式，特殊結論）、解析幾何（曲線定義、軌跡方程，直線曲線綜合，特殊結論）、立體幾何（空間中線與線、線與面、面與面的平行和垂直關係，三檢視，空間向量）、數列（數列概念、遞推關係、數列通項、數列求和）等，它們都是高中數學的主幹知識，在近年的天津試卷中始終保持了較高的比例，而且達到了一定的深度，已成為數學試題的主體。所以，複習中應借鑑以往的經驗，分析近年的高考試卷，對這些主幹知識加強研究。
「函式」是高中數學中起聯接和支撐作用的主幹知識，也是進一步學習高等數學的基礎。以2023年數學理科試卷為例：第4、7、8、17、20共五道試題考查了函式的知識，總計39分，涉及到的函式型別有：
二次函式、指數函式、對數函式、三角函式、復合函式、二元函式（線性規劃中的目標函式）等。考查的內容主要是函式的有關概念、重要性質、基本方法、基本應用等，幾乎涵蓋了高中所學函式的全部內容，而且要求也較高。所以函式的複習應是高三數學第一輪複習的重頭戲，應從概念的理解、性質的應用、思想和方法的提煉等幾方面重點複習。
此外，新課程中增加了「函式的應用」一章，雖然2023年的試卷涉及得不多，但應考慮到《課程標準》中強調「發展學生的應用意識」，函式的應用是考查學生應用意識的乙個很好的載體，在複習工作中也應引起足夠的重視。
解析幾何也是高中數學的重要內容。2023年的理科試卷第2、9、13、14、21五個題共計32分，考查了解析幾何的知識，對必修課程中的直線、圓，選修課程中的橢圓，拋物線的方程、性質及其應用作了重點考查（雙曲線在文科考查），同時對新增的直線的引數方程也作了考查。試卷將解析幾何的內容作為重點考查物件，其考查是全面的、深入的，重點是突出的，要求是有層次的。
新課程之後，解析幾何的內容對於文科學生來說變化不大，對於理科學生來說，主要是增加了選修4-4的「座標系與引數方程」部分，複習時可借鑑往年的經驗，並適當關注新增知識以及傳統知識與新增內容的綜合等，如類似2023年第21題的解析幾何與平面幾何的綜合。
立體幾何是培養學生空間想象能力最有力的工具，是高中數學不可或缺的內容之一。新課程中的立體幾何內容與大綱安排不同：分必修和選修兩段來安排，而且文科學生只在必修中學習，選修課程中不再涉及，理科學生雖然在選修課程中繼續學習相關的內容，但處理問題的工具用的是空間向量，也不是綜合幾何的方式。
由於新課程中的立體幾何內容及課時的減少，在2023年的高考數學試卷中，立體幾何所佔分值也相應作了調整，試卷設計了12、19兩個題，共16分，比往年的立體幾何減少了一道小題。雖然題量減少，但立體幾何主幹知識的地位並沒有動搖。以2023年理科試卷為例，考查的知識點涉及到三檢視、異面直線所成角、平面與平面的垂直、二面角等基礎知識，借助這些基礎知識考查了空間想象、推理論證、計算能力以及用向量解決立體幾何問題的方法等，其中三檢視和用空間向量解決立體幾何問題都是新增內容，複習中我們應該根據這些變化情況，適當調整此部分的複習重點。
此外，還應注意，由於新課標中，立體幾何部分文科和和理科的要求部分，解決問題的方法也不同，在複習時要加以區分。
3.回歸數學課本，夯實基礎知識
數學學科《考試大綱》規定高考數學試卷由容易題、中等題和難題組成，並以中等難度題目為主。縱觀近幾年天津卷的高考數學試題，可清楚地發現容易題和中等題這兩部分的分值基本佔了高考數學試卷總分的80％左右。以天津市2023年新課程高考為例，理科試卷中1、2、3、4、5、6、7、8、11、12、17、18、19和20（1）、22（1），文科試卷中的1、2、3、4、6、8、11、17、18、19（1）和20（1）、22（1）等題，均屬於考查基本知識、基本技能的問題。
因此，在高考複習中，應堅持「面向中等生，重視中低檔題」的方針，加強對數學基礎知識、基本技能和基本方法的複習和落實。
落實基礎的乙個重要途徑就是回歸課本，應通過對課本例題、習題的回歸，使學生在夯實「雙基」的基礎上，牢固地掌握重要的數學思想方法；通過對課本例題、習題的內在聯絡的提示，使學生深刻理解課本知識的同時更有效地形成知識網路和方法體系；通過對課本例習題的變式練習和拓展引申，使學生在參與**中提高應變能力和創新能力。回歸課本不僅是提高複習實效的必經之路，也是減輕學生負擔、擺脫題海戰術的明智之舉。
4.著意通性通法，突出數學思想
通性通法，就是指具有某些規律性和普遍意義的常規解題模式和常用的數學基本思想方法。所謂常規解題模式，是指解決一類問題常用的方法和步驟。如利用導數求函式最值或極值的方法；將直線方程代入圓錐曲線方程，整理成一元二次方程，再利用根的判別式、求根公式、韋達定理、兩點之間的距離公式等相關知識解決解析幾何問題的方法等。
現在高考比較重視的就是這種具有普遍意義的方法和相關的知識。如2023年高考理科試卷的20題：已知函式f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈r)，其中a∈r.
(ⅰ)當a=0時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率；(ⅱ)當a≠23時，求函式f(x)的單調區間與極值。解答此題的關鍵是根據引數a的取值對函式進行分類討論。第（ⅰ）問只要對函式的求導公式熟練掌握，理解導數的幾何意義，就能順利完成解答；第（ⅱ）問有一定的難度，但只要有分類討論的思想，按照利用導數求最值的常規方法也可以比較順利地解題。
因此，在複習中，我們應該多注意概括總結這種具有普適性的解決問題的方法，而不必過分追求高超的解題技巧。
著意通法，體現在複習中，就要注意在例題的講解上不能太熱衷於「一題多解」。誠然，「一題多解」能開闊學生的思路，但多解之「多」並非「多多益善」。如有些解法，只追求窄而小的技巧，一時想不到，就滿盤皆輸，易挫傷學生的積極性。
「一題多解」要適度，一般題目介紹2～3種解法是可取的。介紹解法時，要淡化特殊技巧，數學不是技藝型的東西，數學是屬於思考型的，複習時要更多地注重「一題多變」(模擬、拓展、延伸)、「一題多用」(即用同乙個問題做不同的事情)和「多題歸一」(所謂「一」就是具有普遍意義和廣泛遷移性的、能創造知識的、「含金量」較高的那些策略性知識)，更多地注重抓題目核心，提煉反映數學本質的東西。
所謂數學基本思想方法，包含兩層含義：一是中學數學應掌握的幾類主要數學思想：如函式與方程的思想、數形結合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉化的思想、特殊與一般的思想、必然與或然的思想等。
二是應掌握的常用數學方法。常用數學方法可分為三類：一類是邏輯學中的方法，如分析法、綜合法、反證法、模擬法、歸納法、窮舉法等；一類是中學數學的一般方法，如代入法、圖象法、比較法和數學歸納法等；第三類是中學數學的特殊方法，主要是配方法、換元法、待定係數法、引數法及解決某類基本問題的常用方法，如向量法等。
數學思想方法是數學思維的核心，它反映在數學教學內容裡面，體現在解決問題的過程之中，它是將知識轉化為能力的橋梁。只有深刻領會數學思想方法的實質，達到數學思想方法運用的自動化，才能把數學的知識與技能轉化為分析問題和解決問題的能力。高三複習中，數學思想方法的提煉和概括應以典型例題為載體，應通過設計具有探索性的、能從中抽象一般和特殊規律的範例進行教學，在對其分析和思考的過程中展示數學思想和具有代表性的數學方法。
應針對數學思維活動過程中展示出來的數學思想方法不失時機地進行提問與討論，啟發、引導學生領悟出思想方法。一方面通過解題和反思活動，從具體數學問題和範例中總結、歸納解題方法，挖掘隱含在教學內容中的數學思想；另一方面在解題過程中，應充分發揮數學思想方法對發現解題途徑的定向、聯想和轉化功能，舉一反三，觸類旁通。
5．重視新增內容，關注知識交匯
2023年的數學試卷對《課程標準》中新增的內容和教學要求有變動的部分給予了應有的重視。以理科為例，試卷的3、4、5、12、13等題考查了邏輯、函式零點、演算法、三檢視、引數方程等新增的內容；18題考查了新增的超幾何分布；19題的立體幾何既可以用傳統的邏輯推理的方法求解和證明，也可以用新增加的空間向量的知識來解題，理科新增內容佔全卷的比例超過了20%。新增內容在今後的新課程高考中還會逐漸增加並成為熱點，因此在今年的複習中必須給予足夠的重視。
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