高二數學第四章直線、平面、簡單幾何體
一、選擇題：本題共有12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的代號寫在括號內.
1．給出下列三個命題：
(1)有四個相鄰側面互相垂直的稜柱是直稜柱；
(2)各側面都是正方形的四稜柱是正方體；
(3)底面是正三角形，各側面都是等腰三角形的三稜錐是正三稜錐.
其中正確命題的個數是 （ ）
a.0個 b.1個 c.2個 d.3個
2.下列各圖是正方體或四面體，p、q、r、s分別是所在稜的中點，這四個點不共面的乙個圖是 ( )
3.一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜.記三種蓋法屋頂面積為p1、p2、p3.若屋頂斜面與水平面所成的角都是α，則 ( )
>p2>p1 >p2=p1 >p1
4.如圖所示，正四稜錐p—abcd的底面積為3，體積為，
e為側稜pc的中點，則pa與be所成的角為 ( )
abcd.
5.在北緯45°圓上有甲、乙兩地，它們的經度分別是東經140°
與西經130°，設地球半徑為r ，則甲、乙兩地的球面距
離是a.πr b.πr c.πr d.πr
6.已知三稜柱abc—a1b1c1的體積為v，p是側稜bb1上的一點，那麼四稜錐p—acc1a1的體積是 ( )
a. b. c. d.
7.如圖所示，在正三稜錐a—bcd中，e、f分別是ab、bc
的中點ef⊥de，若bc=a,則正三稜錐a—bcd的體積
為 ( )
a. ab. a3 c. a3d. a3
8.已知長方體abcd—a1b1c1d1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點a1到截面ab1d1的距離是
a. b. c. d.
9.如圖所示，正方體abcd—a1b1c1d1中，ef是異面直線ac和
a1d的公垂線，則ef和bd1的關係是
a.相交不垂直 b.相交垂直 c.異面直線 d.互相平行
10.設α、β是不重合的兩個平面，l和m是不重合的兩條直線，
那麼α∥β的乙個充分條件是
且l∥m,且l∥m
且l∥且l∥m
11.如圖所示，是正方體的平面展開圖.在這個正方體中，①bm
與ed平行；②cn與be是異面直線；③cn與bm成60°
角；④dm與bn垂直.以上四個命題中，正確命題的序號
是 ( )
a.①②③ b.②④ c.③④ d.②③④
12.如圖所示，設四面體abcd各稜長均相等，e、f分別為
ac、ad的中點，則△bef在該四面體的面adc上的射影
是 ( )
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.
13.在三稜錐a—bcd中,六條稜長均相等，e是ad的中點,則ab和ce所成角的余弦值為
14.若正三稜柱a1b1c1—abc的側稜與底面邊長均為4，e是ab中點，則e點到c1b和a1c1的距離分別是
15.如圖所示，矩形abcd中，ab=1, bc=a, pa⊥平面abcd，若bc邊上有且僅有一點q滿足pq⊥qd，則a的值為
16.如圖所示，在三稜錐p—abc中，po⊥底面abc，o為垂足，已知下列條件：①p—abc是正三稜錐；②p點到△abc三邊的距離相等；③側面與底面所成的二面角相等；④三條側稜兩兩互相垂直；⑤兩組對稜互相垂直.
其中使o點為△abc垂心的條件是
(把使o點為△abc垂心的條件都填上).
三、解答題：本大題6小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.在稜長為a的正方體ac1中,求異面直線a1c與ab1的距離.
18.如圖所示，已知四稜錐p—abcd的底面為直角梯形，
ad∥bc，∠bcd=90°，pa=pb，pc=pd．
(1)試判斷直線cd與平面pad是否垂直.
(2)證明：平面pab⊥平面abcd.
(3)如果cd=ad+bc,二面角p—bc—a等於60°，
求二面角p—cd—a的大小．
19．如圖，abcd為矩形，平面pab⊥平面abcd，平面pad⊥平面分別是ab、pc的中點.
(1)求證：mn⊥ab.
(2)若平面pdc與平面abcd成45°角，求證：平面mnd⊥平面pdc.
20.如圖所示，二面角p—ac—b為60°，bc⊥ac，pa⊥ac，ac=a ，bc=pa=2a , 點p在平面abc內的射影為d.
(1)求證：ad∥平面pbc.
(2)求點a到平面pbc的距離.
21.如圖所示，已知a、b是異面直線，且a⊥b，它們的公垂線段為ab，其長為m，定長為n (n>m)的線段pq的兩個端點分別在a、b上移動，m、n分別是ab、pq的中點.
(1)求證：ab⊥mn.
(2)求證：mn的長是定值.
22.如圖，已知平面α∥平面β，線段ab交α於點c，交β於點d，且ac=bd，過點a的直線分別交α、β於點e、f，過點b的直線分別交β、α於點g、h.
求證：s△ceh =s△dfg.
高二數學第四講單元測試與自我評估習題解答
四個側面互相垂直的稜柱並不能保證側稜一定垂直於底面，故(1)錯；當底面是菱形時，各側面也可以是正方形，故(2)錯；當銳角為60°的菱形沿短的對角線折成三稜錐時，有可能不是正三稜錐(這時三側面中，有乙個是正三角形，兩個是等腰三角形)，故(3)錯.
a中ps∥qr; b中p、q、r、s是正方體乙個正六邊形截面的4個頂點;d中ps∥qr,∴選c.
根據=s·cosα.
連ac，取ac的中點o，連ob、oe，∴oe∥pa，故∠oeb或其補角為pa與be所成的角.依題意abcd的邊長為，∴bo=，又oe=pa=，
∴po=，∴oe=.
又△obe為rt△，∴tan∠beo=，∴∠beo=.
設地球球心為o，甲、乙兩地分別對應點a、b，北緯45°圈的圓心為o′，
∴o′a=r cos 45°= (r為地球半徑)
又∠ao′b=40°+50°=90°，∴ab=r，故△aob為正△，∴球面距離為.
vvvp—abc -v=v-.
∵ef∥ac, 又ef⊥de,∴de⊥ac, 又ac⊥bd, 故ac⊥平面abd.
∴vabcd＝ac·s△abc=·.
設點a1到平面ab1d1的距離為h，∵v=×2(×２×４)=，
又△ab1d1是等腰△，ab1=，
∴b1d1邊上的高為.
∴s==6.
∴·h=，即h=.
連b1c，則b1c∥a1d，∵ef⊥ac，ef⊥a1d，∴ef⊥b1c.
∴ef⊥平面ab1c，又bd1⊥平面ab1c，∴ef∥bd1.
∵l⊥α且l∥m ,∴m⊥α，又m⊥β,故α∥β.
如圖，將平面展開圖還原成正方體，bm即為bc1，
ed即為a1d，cn即為cd1，be即為ba1，dm即為dc1，
bn即為bd1，∵bc1與cd1成60°角，故③正確，dc1與
bd1成90°角，故④正確.
b在平面acd上的射影為△acd的中心.
13. 設三稜錐的稜長為2a,取bd的中點f,則ef=a,
ce=cf=a, ef∥ab,∴∠cef是ab和ce所成的角,
由餘弦定理得cos∠cef=.
14．和如圖，取a1b1的中點f，連ef，
則ef⊥平面a1b1c1，作fh⊥a1c1於h，連eh，
∴a1c1⊥平面efh，∴a1c1⊥eh,
∵ef=4,fh=2·，
∴eh=.
作eg⊥bc於g，則eg⊥平面bcc1b1，
作gk⊥bc1於k，連ek，則ek⊥bc1，
eg=4··=，gk=·1=.∴ek===.
15.2 連aq，∵pq⊥qd，又pa⊥平面abcd，∴aq⊥dq,∴ad=2ab=2.
16.①④⑤ p—abc為正三稜錐，點p在平面abc的射影為△abc的中心，又△abc為正△，∴o為△abc的垂心，故①正確.∵pa⊥bc，連ao則ao⊥bc，又pb⊥ac，連bo，則bo⊥ac.
∴o為△abc的垂心，故⑤正確.pa⊥pb，pa⊥pc，故pa⊥平面pbc，∴pa⊥bc,連ao則ao⊥bc，同理bo⊥ac，故o為△abc的垂心，故④正確.
17.分析: 求異面直線的距離，要先作出公垂線段，
再進行計算.(如圖所示)
解: ∵bc⊥面aa1b1b,ab1面aa1b1b,∴bc⊥ab1,
連a1b,因ab1⊥a1b,且a1b∩bc=b.∴ab1⊥面a1bc.
設ab1∩a1b=m, 過m作mn⊥a1c於n, 則mn面a1bc,
∴ab1⊥mn於m.
故mn為異直直線a1c與ab1的公垂線段,即mn的長為所求.
又由已知bc=a, a1b=a, a1c=a△a1mn∽△a1cb,
∴=. ∴mn===即a1c與ab1的距離為.
18.(1)如圖，直線cd與平面pad不垂直.
若直線cd與平面pad垂直，則cd⊥pd ，而在△pcd中，
由pc=pd ，得∠pcd=∠pdc.
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