序軸法——復合函式單調區間
的一種簡捷求法
復合函式是高中數學中的一類重要函式，討論復合函式的單調性，求出其單調區間是復合函式問題中的一類重要問題。而一些書刊上對復合函式單調區間的求法過於繁瑣，本文介紹一種求復合函式單調區間的簡捷方法，供大家參考。
本文介紹的復合函式單調區間求法的理論依據是下面的
定理（判定定理）：若都是單調函式，則n次復合函式在其定義域內也是單調函式，且它為增函式的充要條件是中減函式的個數為偶數；它為減函式的充要條件是中減函式的個數為奇數。
下面我們先通過乙個例子來說明具體的方法。
例1． 已知，若，求函式的單調區間。（89年高考理科（11）改編--原題為選擇題）
解：令t=2,則，故是由這兩個函式復合而成的，定義域為實數集r。
當即或時
當即時當時， ；當時， 。
將-1,0.1按大小順序標在以向右為正方向的有向直線上（由於不考慮單位，只考慮順序，故稱這條直線為「序軸」），再把各層函式的增減性用公升、降箭頭標在相應區間上方，然後，在序軸下方的相應區間，根據復合函式單調性的判定定理，用箭頭標出復合函式的單調性。如（圖1）：：
1 01
圖1）由圖1可知，的遞增區間為，[0，1]；遞減區間為（-1，0），（1，+。
這種求復合函式單調區間的方法我們稱之為「序軸法」，其一般的解題步驟為：
1、 求復合函式的定義域，並把各層函式分解出來；
2、 求出各層函式單調區間及對應的在復合函式定義域內自變數x的取值區間；
3、 由各層函式單調區間的端點值，把復合函式的定義域分成若干部分，並在序軸上標出；
4、 將各層函式的增減性用公升、降箭頭在序軸上相應區間的上方標出；
5、 由復合函式單調性的判定定理，在每個區間的下方，用公升、降箭頭標出單調性，從而得出復合函式的單調區間。
這種方法已近程式化，層次清楚，操作方便，簡便易行，且不容易出錯。特別是對於由多個函式復合而成的復合函式則更為簡捷。我們再舉一例：
例2、求函式的單調區間。
解：因為，故令
y(u)=,則
是由三個函式復合而成的，其定義域為實數集r。
當即或或時， ；
當時，即當即時
當即或時
當時， ；當時， 。
把及各層函式的單調性用箭頭在序軸上標出(如圖2)：
y(u)
u(t)
t(xf(x1 0 1
圖2）∴ f(x)的單調遞減區間為：;
單調遞增區間為： 。
**復合函式
一、引言
在對高中數學的函式研究中，除了常見的一些基本初等函式，例如：等等以外，通常還會遇到一些在結構上較為複雜的函式，例如：等等。
而當我們對這些結構上較為複雜的函式分析其結構特點時，可以發現，這些函式都可看成時由兩個基本函式經過「復合」而成的。例如：函式，如設，則原函式可以看成由函式「復合」而成。
從而使得對函式的研究轉化為對初等函式的分層研究。
那麼，函式究竟是一種什麼樣的函式呢？
二、復合函式的相關概念
1、定義：一般地：對於兩個函式，如果通過變數，可以表示成的函式，那麼稱這個函式為的復合函式，記作：。
在復合函式中，稱為復合函式的外函式，稱為復合函式的內函式。
2、定義域和值域
復合函式的定義域即內函式的定義域，復合函式的值域即外函式的值域。而外函式的定義域即內函式的值域。如下表所示。
3、單調性
復合函式的單調性是由內外函式的單調性共同決定的：
內函式是增函式+外函式是增函式=復合函式是增函式；
內函式是增函式+外函式是減函式=復合函式是減函式；
內函式是減函式+外函式是增函式=復合函式是減函式；
內函式是減函式+外函式是減函式=復合函式是增函式。
也就是說，當內外函式的單調性相同的時候，復合函式是增函式，當內外函式的單調性不同的時候，復合函式是減函式。（同增異減）
三、復合函式的常見應用
1、求定義域或值域
例一：設函式f(x)的定義域是［—1，1］那麼函式f(x2—1)的定義域是________
分析：根據復合函式定義域和值域的關係，先把函式f(x2—1)分解成兩個函式：外函式y=f(u)和u=g(x)，已知的定義域[—1，1]就是外函式的定義域，而所求的定義域是復合函式的定義域，即內函式的定義域。
因為內函式的值域是外函式的定義域，所以內函式的定義域可以通過內函式的值域求得。
詳解：把函式 f(x2—1)分解成兩個函式：y=f(u)和u=x2—1，由已知可得，即,解這個不等式得：。
所以函式f(x2—1)的定義域是
例二：函式y= ()的值域是________
分析：根據復合函式定義域和值域的關係，先把函式f(x2—1)分解成兩個函式：外函式y=f(u)和u=g(x)，已知的是復合函式的定義域，即內函式的定義域，要求復合函式的值域，則必須先求外函式的定義域，即內函式的值域。
詳解：把函式y=分解成兩個函式：和
因為，所以，則
所以，即原函式的值域是
2、求解析式
例三：設函式，求的解析式
分析：求的解析式即求復合函式的外函式的解析式，因此，可以通過構造內函式，求得內函式的自變數和函式的關係式，再代入復合函式的解析式，就可以得到外函式的解析式。
解：令，則，代入中得
整理化簡得：
所以3、求復合函式的單調區間
例四：求函式的單調增區間和單調減區間。
分析：根據復合函式的單調性可知，其單調增區間就是內外函式單調性相同的區間的交集，其單調減區間就是內外函式單調性不同的區間的交集。所以應該先分別求出內外函式的單調區間，再取對應的區間的交集。
解：由對數性質可得：
解不等式得：，即原函式的定義域是
把原函式分解為兩個函式：，由於外函式在定義域中是增函式，而內函式在區間上是增函式，在區間上是減函式。
所以，函式的單調增區間是；單調減區間是
4、求復合函式的導數
復合函式的導數等於外函式的導數與內函式的導數的積
即： 例五：求函式的導數
分析：求復合函式的導數，可以先構造出內外函式，再對其分別求導，最後按公式計算。
解：令，則
函式是整個高中最主要，也是最重要的乙個知識，而復合函式是函式中所有知識點的總匯，希望能通過這篇文章，能給大家乙個**函式的基石，也讓學生對復合函式有乙個總的認識。
復合函式的概念及復合函式的單調性
一、知識點內容和要求：
理解復合函式的概念，會求復合函式的單調區間
二、教學過程設計
（一）複習函式的單調性
引例：函式y=f（x）在上單調遞減，則函式（a＞0，且a≠1）增減性如何？
（二）新課
1、復合函式的概念
如果y是a的函式，a又是x的函式，即y=f（a），a=g（x），那麼y關於x的函式y=f[g（x）]
叫做函式y=f（x）和a=g（x）的復合函式，其中a是中間變數，自變數為x，函式值y。
例如：函式是由復合而成立。
函式是由復合而成立，a是中間變數。
2、復合函式單調性
由引例：對任意a，都有意義（a＞0且a≠1）且。
對任意，
當a＞1時，單調遞增，當0＜a＜1時，單調遞減。
∵當a＞1時，
∵y=f（u）是上的遞減函式 ∴
∴ ∴是單調遞減函式
類似地，
當0＜a＜1時，
是單調遞增函式
一般地，
定理：設函式u=g（x）在區間m上有意義，函式y=f（u）在區間n上有意義，且當x∈m時，u∈n。
有以下四種情況：
（1）若u=g（x）在m上是增函式，y=f（u）在n上是增函式，則y=f[g（x）]在m上也是增函式；
（2）若u=g（x）在m上是增函式，y=f（u）在n上是減函式，則y=f[g（x）]在m上也是減函式；
（3）若u=g（x）在m上是減函式，y=f（u）在n上是增函式，則y=f[g（x）]在m上也是減函式；
（4）若u=g（x）在m上是減函式，y=f（u）在n上是減函式，則y=f[g（x）]在m上也是增函式。
即：同增異減。
注意：內層函式u=g（x）的值域是外層函式y=f（u）的定義域的子集。
例1、討論函式的單調性
（1）（2）
解：①又是減函式
∴函式的增區間是（-∞，2]，減區間是[2，+∞）。
②x∈（-1，3）
令 ∴x∈（-1，1]上，u是遞增的，x∈[1，3）上，u是遞減的。
∵是增函式
∴函式在（-1，1]上單調遞增，在（1，3）上單調遞減。
注意：要求定義域
練習：求下列函式的單調區間。
1、（1）減區間，增區間；
（2）增區間（-∞，-3），減區間（1，+∞）；
（3）減區間，增區間；
（4）減區間，增函式。
2、已知求g（x）的單調區間。
提示：設，則g（x）=f（u）利用復合函式單調性解決：g（x）
的單調遞增區間分別為（-∞，-1]，[0，1]，單調遞減區間分別為[-1，0]，[1，+∞）。
例2、y=f（x），且lglgy=lg3x+lg（3-x）
（1）y=f（x）的表示式及定義域；
（2）求y=f（x）的值域；
（3）討論y=f（x）的單調性，並求其在單調區間上相應的反函式。
答案：（1）x∈（0，3）
（2）（0，]
（3）y=f（x）在上單調遞增函式，在上是單調遞減函式
當x∈時，；
當x∈時，。
例3、確定函式的單調區間。
提示，先求定義域：（-∞，0），（0，+∞），再由奇函式，先考慮（0，+∞）上單調性，並分情況討論。
函式的遞增區間分別為（-∞，-1]， [0，+∞）
函式的遞減區間分別為[-1，0），（0，1]。
作業：1、求下列函式的單調區間。
有關復合函式單調性的定義和解題方法
一 復合函式的定義 設y f u 的定義域為a，u g x 的值域為b，若ab，則y關於x函式的y f g x 叫做函式f與g的復合函式，u叫中間量.二 函式的單調區間 1.一次函式y kx b k 0 解當k 0時，是這個函式的單調增區間 當k 0時，是這個函式的單調減區間.2.反比例函式y k ...
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2 3 函式的應用 2.3.1 為確保資訊保安，資訊需加密傳輸，傳送方由明文 密文 加密 接收方由密文 明文 解密 已知加密規則為 明文a，b，c，d對應密文a 2b，2b c，2c 3d，4d 例如 明文1，2，3，4對應密文5，7，18，16 當接收方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的...