一般地,自變數x和因變數y之間存在如下關係:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函式的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。)
則稱y為x的二次函式。
二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
x是自變數,y是x的函式
二次函式的三種表示式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
頂點式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點p(h,k)] 對於二次函式y=ax^2+bx+c 其頂點座標為 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
交點式:y=a(x-x)(x-x ) [僅限於與x軸有交點a(x ,0)和 b(x,0)的拋物線]
其中x1,2= -b±√b^2-4ac
注:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:
______
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函式的影象
在平面直角座標系中作出二次函式y=x^2的影象,
可以看出,二次函式的影象是一條拋物線。
拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。
特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有乙個頂點p,座標為p ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
當-b/2a=0時,p在y軸上;當δ= b^2-4ac=0時,p在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0,c)
6.拋物線與x軸交點個數
δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
_______
δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。x的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a)
當a>0時,函式在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在上是減函式,在上是增函式;拋物線的開口向上;函式的值域是相反不變
當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸,這時,函式是偶函式,解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
二次函式與一元二次方程
特別地,二次函式(以下稱函式)y=ax^2+bx+c,
當y=0時,二次函式為關於x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax^2+bx+c=0
此時,函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。
1.二次函式y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點座標及對稱軸如下表:
解析式y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
頂點座標
(0,0)
(h,0)
(h,k)
(-b/2a,sqrt[4ac-b^2]/4a)
對稱軸x=0x=hx=hx=-b/2a
當h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,
當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.
當h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象;
當h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
因此,研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點座標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點座標是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而減小.
4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點:
(1)圖象與y軸一定相交,交點座標為(0,c);
(2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交於兩點a(x,0)和b(x,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離ab=|x-x| 另外,拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×(-b/2a)-a |(a為其中一點)
當△=0.圖象與x軸只有乙個交點;
當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.
5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x= -b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫座標,是取得最值時的自變數值,頂點的縱座標,是最值的取值.
6.用待定係數法求二次函式的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點座標時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x)(x-x)(a≠0).
7.二次函式知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為複雜的綜合題目。因此,以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現.
中考典例
1.(北京西城區)拋物線y=x2-2x+1的對稱軸是( )
(a)直線x=1 (b)直線x=-1 (c)直線x=2 (d)直線x=-2
考點:二次函式y=ax2+bx+c的對稱軸.
評析:因為拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸方程是:y=-,將已知拋物線中的a=1,b=-2代入,求得x=1,故選項a正確.
另一種方法:可將拋物線配方為y=a(x-h)2+k的形式,對稱軸為x=h,已知拋物線可配方為y=(x-1)2,所以對稱軸x=1,應選a.
2.( 北京東城區)有乙個二次函式的圖象,三位學生分別說出了它的一些特點:
甲:對稱軸是直線x=4;
乙:與x軸兩個交點的橫座標都是整數;
丙:與y軸交點的縱座標也是整數,且以這三個交點為頂點的三角形面積為3.
請你寫出滿足上述全部特點的乙個二次函式解析式: .
考點:二次函式y=ax2+bx+c的求法
評析:設所求解析式為y=a(x-x1)(x-x2),且設x1<x2,則其圖象與x軸兩交點分別是a(x1,0),b(x2,0),與y軸交點座標是(0,ax1x2).
∵拋物線對稱軸是直線x=4,
∴x2-4=4 - x1即:x1+ x2=8 ①
∵s△abc=3,∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3,
即:x2- x1= ②
①②兩式相加減,可得:x2=4+,x1=4-
∵x1,x2是整數,ax1x2也是整數,∴ax1x2是3的約數,共可取值為:±1,±3。
當ax1x2=±1時,x2=7,x1=1,a=±
當ax1x2=±3時,x2=5,x1=3,a=±
因此,所求解析式為:y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
即:y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3
說明:本題中,只要填出乙個解析式即可,也可用猜測驗證法。例如:
猜測與x軸交點為a(5,0),b(3,0)。再由題設條件求出a,看c是否整數。若是,則猜測得以驗證,填上即可。
5.( 河北省)如圖13-28所示,二次函式y=x2-4x+3的圖象交x軸於a、b兩點,交y軸於點c,則△abc的面積為( )
a、6 b、4 c、3 d、1
考點:二次函式y=ax2+bx+c的圖象及性質的運用。
評析:由函式圖象可知c點座標為(0,3),再由x2-4x+3=0可得x1=1,x2=3所以a、b兩點之間的距離為2。那麼△abc的面積為3,故應選c。
圖13-28
6.( 安徽省)心理學家發現,學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位:分)之間滿足函式關係:y=-0.
1x2+2.6x+43(0<x<30)。y值越大,表示接受能力越強。
(1)x在什麼範圍內,學生的接受能力逐步增強?x在什麼範圍內,學生的接受能力逐步降低?
(2)第10分時,學生的接受能力是什麼?
(3)第幾分時,學生的接受能力最強?
考點:二次函式y=ax2+bx+c的性質。
二次函式及相關函式總結
1.定義 一般地,如果是常數,那麼叫做的二次函式.2.二次函式的性質 1 拋物線的頂點是座標原點,對稱軸是軸.2 函式的影象與的符號關係.當時拋物線開口向上頂點為其最低點 當時拋物線開口向下頂點為其最高點.3 頂點是座標原點,對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函式的影象是對稱軸平行於 包括重...
二次函式6 二次函式的概念及特殊二次函式的影象
新知歸納與梳理 主要結論歸納 例題分析 例1 判斷下列函式中,哪些是二次函式?1 2 3 4 例2 函式的影象是拋物線,求的值。例3 二次函式的影象過原點,求的值。例4 若拋物線的頂點在軸上,求的值。例5 在二次函式中,如果,那麼它的影象一定經過點 例6 拋物線的對稱軸是頂點座標是它與拋物線的形狀 ...
二次函式知識總結
一 二次函式概念 1 二次函式的概念 一般地,形如 是常數,的函式,叫做二次函式這裡需要強調 和一元二次方程類似,二次項係數,而可以為零 二次函式的定義域是全體實數 2.二次函式的結構特徵 等號左邊是函式,右邊是關於自變數的二次式,的最高次數是2 是常數,是二次項係數,是一次項係數,是常數項 二 二...